Самостійна робота №15. Різниця і сума кубів двох виразів

I Варіант

1°. Записати різницю кубів виразів x та y:

а) x² – y²; б) x³ – y³; в) 3x – 3y; г) x³ + y³.

2°. Вказати вираз, який містить неповний квадрат суми одночленів m і d:

а) (m² + 2md + d²)(m – d); б) (m – d)(m² + d² + 3md); в) (m – d)(m² – dm + d²); г) (m – d)(m² + md + d²).

3°. Записати замість M такий вираз, щоб виконувалась рівність: c³ – 125 = M(c² + 5c + 5²):

а) c + 25; б) c – 5; в) c + 5; г) c – 25.

4°. Розкласти на множники:

а) p³ – q³; б) 1 + 27b³.

5°. Записати у вигляді многочлена:

а) (m + x)(m² – mx + x²); б)  .

6^. Спростити вираз і знайти його значення, якщо x = –2; y = 0,7.

7^. Розкласти на множники (a + x)³ – (a – x)³.

8^. Довести, що значення виразу 971³ – 231³ ділиться на 740.

II Варіант

1°. Записати різницю кубів виразів t і z:

а) t³ – z³; б) 3(t – z); в) t² – z²; г) (t – z)³.

2°. Вказати вираз, який містить неповний квадрат суми одночленів a та x:

а) (a + x)(a² – 2ax + x²); б) (a + x)(a² + ax – x²); в) (a + x)(a² + ax + x²); г) (a + x)(ax – a² – x²).

3°. Записати замість M такий вираз, щоб виконувалась рівність: m³ – 1000 = (m – 10)(m² + M + 100):

а) –10m; б) 20m; в) 10m; г) –20m.

4°. Розкласти на множники:

а) d³ + y³; б) 64b³ – 8.

5°. Записати у вигляді многочлена:

а) (d – p)(d² + dp + p²); б)  .

6

6* Л. Кондратьєва. Зб. контр. і сам. робіт. Алгебра. 7 кл.

^. Спростити вираз і знайти його значення, якщо m = 7,5; c = 4.

7^. Розкласти на множники (2a + b)³ – (2a – b)³.

8^. Довести, що значення виразу 625³ + 175³ ділиться на 800.

III Варіант

1°. Записати суму кубів виразів a та c:

а) 3a + 3c; б) (a + c)³; в) a³ + c³; г) a³ – c³.

2°. Знайти правильний розклад на множники різниці кубів виразів a та z:

а) a³ – z³ = (a – z)(a² + 2az + z²); б) a³ – z³ = (a + z)(a² + az + z²); в) a³ – z³ = (a – z)(a² + az + z²); г) a³ – z³ = (a – z)(a² – az + z²).

3°. Закінчити розкладання: c³ + 64 = c³ + 4³ = (…)(c² – 4c + 4²).

4°. Розкласти на множники:

а) z³ – b³; б) 8d³ + 27.

5°. Записати у вигляді многочлена:

а) (t – b)(t² + tb + b²); б)  .

6^. Розв’язати рівняння: (x + 2)(x² – 2x + 4) = 9.

7^. Розкласти на множники 64 – (2x – 3)³.

8^. Довести, що значення виразу не залежить від значень змінних.

IV Варіант

1°. Записати різницю кубів виразів b та m:

а) b³ – m³; б) (b – m)³; в) 3(b – m); г) 3b – 3m.

2°. Знайти правильний розклад на множники різниці кубів виразів p та x:

а) p³ – x³ = (p + x)(p² – px + x²); б) p³ – x³ = (p – x)(p² + px + x²); в) p³ – x³ = (p – x)(p² + 2px + x²); г) p³ – x³ = (p – x)(p² – px + x²).

3°. Закінчити розкладання: m³ – 1 = m³ – 1³ = (m – 1)(m² + m + …).

4°. Розкласти на множники:

а) m³ + p³; б) 1000n³ – 125.

5°. Записати у вигляді многочлена:

а) (z + m)(z² – zm + m²); б)  .

6^. Розв’язати рівняння: (a – 4)(a² + 4a + 16) = –65.

7^. Розкласти на множники (3a + 4)³ – 125.

8^. Довести, що значення виразу не залежить від значень змінних.

V Варіант

Початковий рівень

1. Який з виразів є сумою кубів виразів c та d?

а) (c + d)³; б) c³ + d³; в) 3  (c +d); г) c³ – d³.

2. Вказати вираз, який є неповним квадратом різниці одночленів a та p:

а) a² + 2pa + p²; б) a² + p²; в) a² + pa + p²; г) a² – pa + p².

3. Вказати правильну рівність:

а) a³ + m³ = (a + m)(a² –2am + m²); б) a³ + m³ = (a – m)(a² + am + m²); в) a³ + m³ = (a + m)(a² – am + m²); г) a³ + m³ = (a + m)(a² + am + m²).

4. Записати замість Q такий вираз, щоб виконувалася рівність: m³ + 8³ = m³ + 2³ = (m + 2)(m² – m  2 + Q).

а) 2; б) 4; в) 8; г) 6.

Середній рівень

1. Розкласти на множники:

а) c³ – p³; б) a³ + 27; в) 125d³ – y³.

2. Записати у вигляді многочлена:

а) (a + d)(a² – ad + d²); б) (x – 1)(x² + x + 1).

3. Спростити вираз (x – 3y)(x² + 3xy + 9y²) – x³ + 25y³ і знайти його значення, якщо x = –4; y = –1.

4. Розв’язати рівняння: .

Достатній рівень

1. Записати у вигляді добутку:

а) m⁹ – n³; б) 27a³ + 0,008c³; в) 125d³p⁶ – 64a¹²b³.

2. Спростити вираз 2x³ + 9 – (x + 1)(x² – x + 1) і знайти його значення, якщо x = 0,5.

3. Розв’язати рівняння: (2y – 1)(4y² + 2y + 1) – 4y(2y² – 3) = 23.

4. Довести, що значення виразу 83³ + 17³ ділиться на 100.

Високий рівень

1. Розкласти на множники:

а) 27ⁿ + 8; б) (t – 1)³ – 1; в) (a + 2)³ + (b – 2)³.

2. Обчислити: .

3. Довести тотожність: x³ – y³ – (x – y)(x² + y²) = xy(x – y).

VI Варіант

Початковий рівень

1. Який з виразів є сумою кубів виразів m і n?

а) m² + n²; б) (m + n)³; в) m³ – n³; г) m³ + n³.

2. Вказати вираз, який є неповним квадратом різниці одночленів b та d:

а) b² + d²; б) b² – bd + d²; в) b² + 2bd + d²; г) b² + bd + d².

3. Вказати правильну рівність:

а) c³ – b³ = (c – b)(c² – cb + b²); б) c³ – b³ = (c – b)(c² + cb + b²); в) c³ – b³ = (c – b)(c² + 2cb + b²); г) c³ – b³ = (c – b)(c² + b²).

4. Записати замість Q такий вираз, щоб виконувалася рівність: n³ – 27 = n³ – 3³ = (n – 3)(n² + Q + 3²).

а) 3; б) 3n; в) 6n; г) –3n.

Середній рівень

1. Розкласти на множники:

а) q³ + b³; б) m³ – 64; в) b³ – 216a³.

2. Записати у вигляді многочлена:

а) (y – c)(y² + yc + c²); б) (5 + q)(25 – 5q + q²).

3. Спростити вираз (2a + b)(4a² – 2ab + b²) – 8a³ + 3b³ і знайти його значення, якщо a = 5,3; b = –2.

4. Розв’язати рівняння: .

Достатній рівень

1. Записати у вигляді добутку:

а) –x³ + y¹²; б) 8a³ + 0,064y³; в)  .

2. Спростити вираз (a + 1)(a² – a + 1) – a(a²  – 5) і знайти його значення, якщо a =  .

3. Розв’язати рівняння: (4p + 1)(16p² – 4p + 1) – 16p(4p² – 5) = 17.

4. Довести, що значення виразу 94³ + 28³ ділиться на 61.

Високий рівень

1. Розкласти на множники:

а) 64a³ⁿ – 1; б) (2 + n)³ – 27; в) (m – 1)³ + (m + 1)³.

2. Обчислити: .

3. Довести тотожність: a⁶ – b⁶ = (a – b)(a + b)(a² – ab + b²)(a² + ab + b²).

Самостійна робота №16. Застосування кількох способів для розкладання многочленів на множники

I Варіант

1°. Яка з рівностей є тотожністю?

а) b³ + d³ = (b + d)(b² – bd + d²); б) b² + bd + d² = (b + d)²; в) b³ – d³ = (b – d)(b² + 2bd + d²); г) 5b³d – b³d² = 5b³d(1 – d).

2°. Розкласти на множники: 5a³ – 45a = …

а) 5(a³ – 9); б) 5(a – 3)(a + 3); в) 5a(a + 3)(a – 3); г) 5a(a – 3)(a – 3).

3°. Записати у вигляді добутку: p² – 1 + 3p – 3 = …

а) (p – 1)(p + 2); б) (p + 1)(p + 2); в) (p – 1)(p + 4); г) (p – 1)(p – 3).

4°. Знайти значення виразу 7m² + 28m + 28, попередньо розклавши його на множники, якщо m = –7.

5^. Розв’язати рівняння: x³ – 16x = 0.

6^. Розкласти на множники:

а) 25a⁴ – (4p² – 5)²; б) 6a² – 12ab + 6b² – 6c²; в) p³ + p²k – pk² – k³.

7^. Довести тотожність (4p² + 9)² – 144p² = (4p² – 9)², не використовуючи піднесення двочлена до квадрата.

8^. Подати вираз (1 + ax)² – (a + x)² у вигляді чотирьох множників.

9*. Розкласти на множники:

а) a² – c² + b² – d² + 2(ab – cd); б) a³ + 2a² – 3.

II Варіант

1°. Яка з рівностей є тотожністю?

а) a² – p² = (a – p)²; б) a³ + p³ = (a – p)(a² + p²); в) a² – p² = (a – p)(a – p); г) 3a²p – ap² = ap(3a – p).

2°. Розкласти на множники: 3y³ + 81 = …

а) 3(y³ + 9); б) 3(y + 3)(y² – 3y + 9); в) 3(y + 3)(y² + 3y + 9); г) 3(y + 3)(y² – 3y + 6).

3°. Записати у вигляді добутку: x³ + x² – x – 1 = …

а) (x + 1)(x – 1)(x + 1); б) (x² + 1)(x + 1); в) x(x² + x – 1) – 1; г) (x – 1)(x – 1)(x + 1).

4°. Знайти значення виразу 2a²b – 18b, попередньо розклавши його на множники, якщо b = –0,5; a = 4.

5^. Розв’язати рівняння: y⁵ – 49y³ = 0.

6^. Розкласти на множники:

а) 81p⁶ – (7p³ – 3)²; б) 7x² + 14xy + 7y² – 7z²; в) kc² – b²k + b²c – c³.

7^. Довести тотожність (9x² + 16)² – 576x² = (9x² – 16)², не використовуючи піднесення двочлена до квадрата.

8^. Подати вираз a⁵ – 9a³ + a² – 9 у вигляді чотирьох множників.

9*. Розкласти на множники:

а) 2(x – 3y) + (x + y)(x – y) – 8; б) a⁴ + 2a³ + 1.

III Варіант

1°. Яка з рівностей є тотожністю?

а) c² – z² = (c – z)(c – z); б) (c – z)² = c² – 2cz + z²; в) c² + z² = (c + z)(c – z); г) 7c²z + 7cz² = 7cz(c + 1).

2°. Розкласти на множники: 2b³ – 16 = …

а) 2(b – 2)(b² – 2b + 4); б) (2b – 8)(4b² + 6b + 64); в) 2(b – 8)(b + 8); г) 2(b – 2)(b² + 2b + 4).

3°. Записати у вигляді добутку: x² – y² + x + y = …

а) x(x + 1) – y(y – 1); б) (x – y)(x + y); в) (x + y)(x – y + 1); г) (x – y)(x + y + 1).

4°. Знайти значення виразу –3a² – 18a – 27, попередньо розклавши його на множники, якщо a = –2,8.

5^. Довести тотожність: m⁴ – 125m = (m² – 5m)(m² + 5m + 25).

6^. Розкласти на множники:

а) 4x² + 12xy + 9y² – 16; б) 25x² – 60x⁴ + 84x³ – 49; в) 4a⁷p² – 32a⁴p⁵.

7^. Знайти значення виразу 27a⁶ – 27a⁴m + 9a²m² – m³, якщо 3a² – m = –2.

8^. Розв’язати рівняння, розклавши його ліву частину на множники:

а) (3 – 2x)² + 2(3 – 2x) + 1 = 0; б) 2(x – 1)² + 4(x – 1)(x – 2) + 2(x – 2)² – (2x – 3)(x – 1) = 0.

9*. Розв’язати відносно х рівняння з параметром а: a³ – 4a = (a² – 2a)x.

IV Варіант

1°. Яка з рівностей є тотожністю?

а) m³ + x³ = (m + x)(m² + mx + x²); б) m² – x² = (m – x)(x + m); в) (m + x)² = m² + x²; г) 9m²x + mx = 9mx(m + 1).

2°. Розкласти на множники: 3m² + 6m + 3 = …

а) 3(m – 1)(m + 1); б) 3(m + 1)(m + 1); в) (3m + 3)(3m + 3); г) 3m(m + 2) + 3.

3°. Записати у вигляді добутку: x³y – 8y = …

а) y(x – 2)(x² + 2x + 4); б) y(x – 2)(x² – 2x + 4); в) (x – 2y)(x² + 2xy + 4y²); г) 8yx³.

4°. Знайти значення виразу a² – b² + a + b, попередньо розклавши його на множники, якщо a = 3,7; b = 2,7.

5^. Довести тотожність: 2p⁵ + 54p² = (2p³ + 6p²)(p² – 3p + 9).

6^. Розкласти на множники:

а) 4m² – 20mn + 25n² – 36; б) 54t⁴x + 16tx⁷; в) 9x² – 42x⁶ – 70x⁵ – 25.

7^. Довести, що вираз a²(a² + 2) – 8a + 4(а² + 2) – 4а³ набуває лише невід’ємних значень.

8^. Розв’язати рівняння, розклавши його ліву частину на множники:

а) x² – 7x + 12 = 0; б) (x + 3)² – 2(x + 3) – 24 = 0.

9*. Розв’язати відносно х рівняння з параметром а: a³ – 9a = (a² + 3a)x.

V Варіант