Початковий рівень

1. У якому з виразів двочлен (5x – 3) є множником?

а) (5x – 3) + 5y; б) 5y – (5x – 3); в) 5y(5x – 3); г)  .

2. Знайти спільний множник одночленів 3a  і  3  2  b.

а) 3; б) a; в) 2b; г) 2.

3. Продовжуючи запис, розкласти на множники: 13ab – 4a = a  13b – – a  4 = …

а) 13ab  4a; б) 13(b – 4); в) 13a(b – 4a); г) a(13b – 4).

4. Винести спільний множник за дужки: 4(c – 3) – b(c – 3) = …

а) 4b(c – 3); б) (c – 3)(4 – b); в) 4b  3c; г) (4 + b)(c – 3).

Середній рівень

1. Записати у вигляді добутку:

а) 3a – ab; б) 24a – 32bc; в) mn + n; г) 2m(c – d) – 3n(c – d).

2. Записати вираз 6a²b + 15a у вигляді добутку й обчислити його значення, якщо a = 1; b = –5.

3. Розв’язати рівняння x² – 14x = 0.

Достатній рівень

1. Винести спільний множник за дужки:

а) 3ab + 9ac – 12ad; б) 4ax – 8ax² + 12ax³; в) 5m(a – 1) – n(1 – a) + (a – 1); г) 8x⁴y³ + 12x²y⁴ – 16x⁵y².

2. Розв’язати рівняння 5(x – 4) – (x – 4)² = 0.

3. Обчислити: 3,22  6,7 + 3,22  5,3 + 12  1,78.

Високий рівень

1. Винести спільний множник за дужки:

а) 12a³b³c – 15a²b⁴c² + 21a⁴b⁴c⁴; б) (a – b)³ + b(–a + b)²; в) 3x(a – b + c) – y(a – b + c) + z(b – a – c); г) 5x^m + 2 + 10x².

2. Розв’язати рівняння xⁿ(4x + 1) – (xⁿ – x + 2)(4x + 1) = 0, де n — натуральне число.

3. Довести, що 3⁷ + 3⁶ + 3⁵ ділиться на 13.

VI Варіант

Початковий рівень

1. У якому з виразів двочлен (a – 3) є множником?

а) (a – 3)  2a; б) 2a + (a – 3); в) (a – 3) – 2a; г) 2a  (a – 3).

2. Знайти спільний множник одночленів 7a  d  і  7a  4.

а) 7ad; б) a; в) 7a; г) 4.

3. Продовжуючи запис, розкласти на множники: 21a – 7m = 3  7  a – – 7  m = …

а) 3  7am; б) 3(7a – 7m); в) 7(3a – m); г) 3  7(a – m).

4. Винести спільний множник за дужки: 5(a + b) + m(a + b) = …

а) (a + b)(5 + m); б) 5m(a + b); в) 5abm; г) ab(5 + m).

Середній рівень

1. Записати у вигляді добутку:

а) 7d + 4cd; б) 21m + 28nd; в) mx – x; г) 5x(a – b) + 3(a – b).

2. Записати вираз 8c – 12bc³ у вигляді добутку й обчислити його значення, якщо c = –2; b = 0,5.

3. Розв’язати рівняння y² – 5y = 0.

Достатній рівень

1. Винести спільний множник за дужки:

а) 6cd – 24ac + 18cd; б) 7xy³ + 28x²y – 7xy; в) a(x – 4) + 9b(4 – x) – (x – 4); г) 9m²n⁴ – 6m³n³ – 3m⁴n².

2. Розв’язати рівняння (x – 9)² – 5(x – 9) = 0.

3. Обчислити: 3,2  18,17 + 3,2  3,83 – 22  0,2.

Високий рівень

1. Винести спільний множник за дужки:

а) 28m³nc⁴ – 14m²n²c – 35m⁴nc; б) (x – y)³ – a(y – x)²; в) 2a(x + y – z) + 3b(z – x – y) – 5c(x + y – z); г) 3a²ⁿ – aⁿ.

2. Розв’язати рівняння |x – 2||x – 7| – 7|x – 2| = 0.

3. Довести, що 7⁶ + 7⁵ + 7⁴ ділиться на 57.

Самостійна робота №10. Розкладання многочленів на множники способом групування

I Варіант

1°. У многочлені 2ax – 3by – 2ay + 3bx вказати групу одночленів, які мають спільний множник 2a.

а) 2ax; 3bx; б) 2ax; –3by; в) 2ax; –2ay; г) –2ay; 3bx.

2°. Завершити розклад многочлена на множники: ab + ay + cb + cy = = (ab + ay) + (cb + cy) = a(b + y) + c(b + y) = …

а) (ab + ay)(cb + cy); б) ac(b + y); в) abcy; г) (b + y)(a + c).

3°. Розкласти на множники:

а) 3a(x + y) + x + y; б) 2m(m – n) – n + m; в) 7d(a – c) + ma – mc.

4°. Записати вираз 5a + 5y + ba + by у вигляді добутку та знайти його значення, якщо a = –5,6; b = –4; y = 1,2.

5^. Обчислити: 7,9  8,1 – 1,2  3,5 + 8,1  2,1 – 8,8  3,5.

6^. Розв’язати рівняння y² – y + (y + 1)(y – 1) = 0.

7^. Подати у вигляді добутку:

а) 9a³b – 11abcd + 18a²cd – 22c²d²; б) ax² – bx² – ax + cx² + bx – cx.

8^. Розкласти на множники:

а) a^mb^2m – a^mc⁴ + b^2m + 4 – b⁴c⁴; б) a² + 3ab + 2b².

II Варіант

1°. У многочлені 4ax – 4bx + 2ay – 2by вказати групу одночленів, які мають спільний множник 2a.

а) 4ax; –2by; б) 4ax; –4bx; в) 2ay; –2by; г) 4ax; 2ay.

2°. Завершити розклад многочлена на множники: ax – ay + bx – by = = (ax – ay) + (bx – by) = a(x – y) + b(x – y) = …

а) abxy; б) ab(x – y); в) (x – y)(a + b); г) xy(a + b).

3°. Розкласти на множники:

а) a – b + 3c(a – b); б) c(x – y) – x + y; в) 6p(m – z) + km – kz.

4°. Записати вираз 2x + ac + cx + 2a у вигляді добутку та знайти його значення, якщо a = 2,3; x = –4,8; c = 3.

5^. Обчислити: 17,2  8,1 + 23,8  5,1 – 17,2  7,6 – 23,8  4,6.

6^. Розв’язати рівняння (x – 3)(x – 4) – 4x + 12 = 0.

7^. Подати у вигляді добутку:

а) 7c²x³ + 21cxa²d + 9сx²ad + 27a³d²; б) 6nc² – 12bc² + 6bc – 3nc + n – 2b.

8^. Розкласти на множники:

а) a^m + b^m + 5a^2m + 5a^mb^m; б) x² – 4xy + 3y².

III Варіант

1°. У многочлені 10ay – 5by +2ax – bx вказати групу одночленів, які мають спільний множник 5y.

а) 10ay; 2ax; б) 10ay; –5by; в) –5by; –bx; г) 10ay; –bx.

2°. Завершити розклад многочлена на множники: am + an – bm – bn = = (am + an) – (bm + bn) = a(m + n) – b(m + n) = …

а) a(m + n)  b; б) (m + n)(a – b); в) (m – n)(a + b); г) (m + n)a  (–b).

3°. Розкласти на множники:

а) 4x(a – b) + a – b; б) 5a(x + y) – x – y; в) ac + bc + a(a + b).

4°. Розв’язати рівняння (x² – 4x) + 5x – 20 = 0.

5^. Записати вираз у вигляді добутку:

а) x²y – z²x + y²x – z²y; б) 1,6ab² – 2,4ac² – b³ + 1,5bc²; в) xy – x²y² + x³y³ – a + axy – ax²y².

6^. Обчислити: .

7^. Довести, що значення виразу 3^n + 3 – 2^n + 2 – 3^n + 2 – 2^n + 1 + 3^n + 1 – 2ⁿ ділиться на 7 за будь-якого натурального значення n.

IV Варіант

1°. У многочлені 15y² – 20xy – 3ay + 4ax вказати групу одночленів, які мають спільний множник 5y.

а) 15y²; –20xy; б) 15y²; –3ay; в) –20xy; –3ay; г) 20xy; –3ay.

2°. Завершити розклад многочлена на множники: az – cz – ap + cp = = (az – cz) – (ap – cp) = z(a – c) – p(a – c) = …

а) (a – c)(z – p); б) z  (–p)(a – c); в) (a – c)(z + p); г) z  ac  p.

3°. Розкласти на множники:

а) k(p – q) + p – q; б) 4x(m – n) – m + n; в) a(x – c) + bx – bc.

4°. Розв’язати рівняння x² – x + (2x – 2) = 0.

5^. Записати вираз у вигляді добутку:

а) y⁴ + 3 – y – 3y³; б) 1,4a³b – 1,8a²b – 0,9a + 0,7a²; в) 2ax² + 4bx² + 6bx + 3ax + a + 2b.

6^. Обчислити: .

7^. Довести, що значення виразу 5ⁿ⁺² + 4ⁿ⁺³ – 5ⁿ⁺¹ + 5ⁿ + 4ⁿ⁺² + 4ⁿ⁺¹ ділиться на 7 за будь-якого натурального значення n.

V Варіант

Початковий рівень

1. У многочлені cy – 2c + 5y – 10 вказати групу одночленів, які мають спільний множник y.

а) cy; –2c; б) cy; 5y; в) 5y; –10; г) –2c; –10.

2. Завершити розклад многочлена на множники: ab + bc – 2a – 2c = (ab – – 2a) + (bc – 2c) = a(b – 2) + c(b – 2) = …

а) (ab – 2a)(bc – 2c); б) 2abc; в) (b – 2)(a + c); г) (b – a)(c – 2).

Середній рівень

1. Розкласти на множники:

а) 2a(x – y) + x – y; б) 3b(a + b) – a – b; в) a(m – n) – bm + bn.

2. Записати вираз ab – ac + 4b – 4c у вигляді добутку та знайти його значення, якщо a = –3; b = –3,4; c = 6,7.

3. Розв’язати рівняння x² – 6x + (3x – 18) = 0.

Достатній рівень

1. Записати вираз у вигляді добутку:

а) x³ – x²z + 2xz² – 2z³; б) 8a²c – 6a²x – 16cx³ + 12x⁴; в) 1,6a³b² + 1,2ab³ – 2a⁷b – 1,5a⁵b².

2. Обчислити: 139  15 + 18  139 + 15  261 + 18  261.

3. Розв’язати рівняння x – 7 + x² = 7x.

Високий рівень

1. Розкласти на множники:

а) a^m + 1 + 2a^mb + abⁿ + 2b^n + 1; б) a² + 5ab + 6b².

2. Обчислити: .

3. Розв’язати рівняння:

а) 7x² – 14x + (x – 2)² = 0; б) x⁵ + x⁴ + x + 1 = 0.

4. Довести, що значення виразу 11ⁿ⁺¹ – 2ⁿ⁺¹ + 11ⁿ – 2ⁿ ділиться на 6 за будь-якого натурального значення n.

VI Варіант

Початковий рівень

1. У многочлені 2ax – 2ay – 3by + 3bx вказати групу одночленів, які мають спільний множник y.

а) 2ax; 2ay; б) –2ay; 3bx; в) –2ay; –3by; г) –3by; 3bx.

2. Завершити розклад многочлена на множники: mn – bk – mk + bn = = (mn – mk) + (bn – bk) = …

а) (n – k)(m + b); б) mnbk; в) nk(m + b); г) mb(n – k).

Середній рівень

1. Розкласти на множники:

а) 3b(m – n) + m – n; б) 2y(x – y) – x + y; в) x(a +b) + ay + by.

2. Записати вираз 3a – 3m + ay – my у вигляді добутку та знайти його значення, якщо a = 5,4; y = –4; m = 7,1.

3. Розв’язати рівняння x² – 7x + (3x – 21) = 0.

Достатній рівень

1. Записати вираз у вигляді добутку:

а) a³ – 2a² + 2a – 4; б) 45a³b⁴ – 9a⁵b³ – 15a²b² + 3a⁴b; в) 2,1ab² – 2,8ac² – 2,7b³ + 3,6bc².

2. Обчислити: 125  48 – 31  52 – 31  48 + 125  52.

3. Розв’язати рівняння x² – 5x + 40 = 8x

Високий рівень

1. Розкласти на множники:

а) a²ⁿ⁺¹ + a²bⁿ⁺¹ – bⁿ⁺² – a^2n–1·b; б) x² – 7xy + 12y².

2. Обчислити: .

3. Розв’язати рівняння:

а) 26x² + 13x – (2x + 1)² = 0; б) x⁴ – 4x³ + 3x² – 12x = 0.

4. Довести тотожність 2^k – 3^2k + 3 · 6^k – 3^k–1 = (3^k+1 + 1)(2^k – 3^k–1).

Контрольна робота №4. Дії з многочленами

I Варіант

1°. Розкрити дужки: (7x + 2y) – (a + 3b) = …

а) 7x + 2y + a + 3b; б) –7x – 2y – a – 3b; в) 7x + 2y – a + 3b; г) 7x + 2y – a – 3b.

2°. Виконати множення одночлена та многочлена: 2x(m + 3n – t) = …

а) 2xm + 2xn – 2xt; б) 2xm + 3n – t; в) 2xm + 6xn – 2xt; г) 2xm + 3n – 2xt.

3°. Помножити многочлени: (a + b)(x – y) = …

а) ax – ay + bx – by; б) ax – by; в) a + bx – y; г) –ay + bx.

4°. Винести спільний множник за дужки: 15сb + 5bd = ...

а) 15b(c + d); б) 5b(3c + d); в) 5bcd; г) 5b(5c + d).

5°. Розкласти на множники: m(x – y) + (x – y) = …

а) (m+ x)(x – y); б) (x – y)(m + 1); в) m(x – y); г) (x – y)(m – 1).

6°. Записати многочлен у стандартному вигляді:

а) –2a  3ba + 4b²  7ab; б) (6a – 2b) – (5a – 3b) + (b – a); в) (x – 1)  3x – 2x(x – 2); г) (b + 4)(–2b + 5); д) (4y + 2)(–2y² + 3y – 2).

7^. Розкласти на множники:

а) 18xy² + 24x²y – 30xy; б) 3m(c – d) – 4n(d – c); в) b² + b³ – b – 1; г) 5(m – n) + (n – m)².

8^. Розв’язати рівняння (10x + 9)  x – (5x – 1)(2x + 3) = 8.

9^. Записати вираз 10a²b² + 5a³b³ – 4ab – 8 у вигляді добутку й обчислити його значення, якщо ab = –1.

10^. Розв’язати рівняння:

а) x² + 6x + 8 = 0;

б) (|x| – 5)(|x| – 3) = x² + 4|x|.

II Варіант

1°. Розкрити дужки: (5m + 3n) – (4p – q) = …

а) 5m + 3n – 4p – q; б) 5m + 3n – 4p + q; в) –5m – 3n – 4p – q; г) –5m – 3n + 4p – q.

2°. Виконати множення одночлена та многочлена: 5a(2b – c + 4d) = …

а) 10ab – c + 4d; б) 10ab – 5ac + 4d; в) 5ab – 5ac + 4ad; г) 10ab – 5ac + 20ad.

3°. Помножити многочлени: (m – n)(a + c) = …

а) ma – nc; б) mc – na; в) ma – na + mc – nc; г) m – na – nc.

4°. Винести спільний множник за дужки: 7xy – 21yz = …

а) 7xy(1 – 3z); б) 7y(x – 21z); в) 7xyz  3; г) 7y(x – 3z).

5°. Розкласти на множники: 2b(x – 1) + (x – 1) = …

а) (2b + x – 1)(x – 1); б) (2b – 1)(x – 1); в) (x – 1) · 2b; г) (x – 1)(2b + 1).

6°. Записати многочлен у стандартному вигляді:

а) 5m²  2mn + 4n  (–9mn); б) (2m – 5n) + (–m + n) – (2m – n); в) 2b(4a – 3b) – b(b – 7a); г) (–x + 3)  (5 – 2x); д) (a – b)(m – n + t).

7^. Розкласти на множники:

а) 15m² – 9m³n – 21mn²; б) 17(3x – 4y) + 34c(4y – 3x); в) 8x(a – b) – 9(b – a)²; г) y³ – 6y + 7y² – 42.

8^. Розв’язати рівняння 4x(x – 1) – (2x + 5)(2x – 3) = 9.

9^. Записати вираз 3 – 3a³b – 5a⁶b² + 5a⁹b³ у вигляді добутку й обчислити його значення, якщо a³b = 2.

10^. Розв’язати рівняння:

а) x² + 8x + 15 = 0;

б) |x – 12||x – 4| – 19|x – 4| = 0.

III Варіант

1°. Розкрити дужки: (4m – 2n) + (–6b + 7a) = …

а) 4m – 2n – 6b + 7a; б) 4m – 2n + 6b – 7a; в) –4m – 2n – 6b + 7a; г) 4m – 2n – 6b – 7a.

2°. Помножити одночлен на многочлен: xy(a – 2b + 3d) = …

а) xya – 2bxy + 3d; б) xya – 2b + 3d; в) xya + 2bxy – 3dxy; г) xya – 2bxy + 3dxy.

3°. Помножити многочлен на многочлен: (a – b)(m + 3) = …

а) 3a – bm; б) am – bm + 3a – 3b; в) am – 3b; г) a – bm + 3.

4°. Винести спільний множник за дужки: 4ab – 2bc = …

а) 4abc; б) 2b(4a – c); в) 4b(a – c); г) 2b(2a – c).

5°. Розкласти на множники: b(y + 1) – 2c(y + 1) = …

а) (y + 1)(b – 2c); б) (y + 1)  b  2c; в) (b + 2c)(y + 1); г) (b – 2c)y + 1.

6°. Записати многочлен у стандартному вигляді:

а) 2x  3y² + 5x  (–7xy); б) (2m – 3n) – (4m – 5n); в) 2y(x – y) + y(3y – 2x); г) (5a – 1)(2a + 7).

7°. Записати у вигляді добутку:

а) 12axy + 20ay – 28xy; б) b(m – 1) – 9c(1 – m); в) a³ + 2a² + 2a + 4.

8^. Доповнити многочлен a³ + a²b + 2ab² ... одним членом так, щоб його можна було розкласти на множники способом групування, і розкласти многочлен на множники.

9^. Спростити вираз MN – RQ, де M = a – 3; N = a² – 8a + 5; R = a – 8; Q = a² – 3a + 5 і довести, що значення цього виразу за довільних значень а ділиться на 5.

10^. Розв’язати рівняння:

а)  ; б) x³ – 4x² – 4 + x = 0.

11^. Довести тотожність a^m + b^m + 5a^2m + 5a^mb^m = (a^m + b^m)(1 + 5a^m).

IV Варіант

1°. Розкрити дужки: (–4x + y) – (2m +3t) = …

а) –4x +y + 2m + 3t; б) –4x + y – 2m – 3t; в) –4x + y – 2m + 3t; г) 4x – y + 2m + 3t.

2°. Помножити одночлен на многочлен: mn(k + 4p – 5t) = …

а) mnk – 4mnp + 5mnt; б) mnk + 4p – 5t; в) mnk + 4mnp – 5mnt; г) k + 4pmn – 5mnt.

3°. Помножити многочлен на многочлен: (x + 7)(a – c) = …

а) xa – xc + 7a – 7c; б) x + 7a – c; в) –xc + 7a; г) xa + xc – 7a + 7c.

4°. Винести спільний множник за дужки: 2mx + 14xn = …

а) 2x(m + 14n); б) 2x(m + 7n); в) 2mx(1 + 7n); г) )2mxn.

5°. Розкласти на множники: 3p(p – q) + 7(p – q) = …

а) (3p + 7q)p – q; б) (p – q)(3p + 7); в) (p – q)(3p + 7q); г) (p – q)(3p – 7q).

6°. Записати многочлен у стандартному вигляді:

а) 5a  (–3b) + 4b  6ab; б) (7x – 5t) – (2x – 8t); в) 2y(2x – 3y) + 3y(5y – 3x); г) (3m + 4)(8 – 7m).

7°. Записати у вигляді добутку:

а) 49mnp – 35mp + 77mn; б) 3a(x – y) + 2(y – x); в) 3m² + md – 3mn – nd.

8^. Доповнити многочлен x³ – x²y + 3xy² ... одним членом так, щоб його можна було розкласти на множники способом групування, і розкласти многочлен на множники.

9^. Спростити вираз AB – CD, де A = 2x² – x – 10; B = x – 3; C = x² – 5x + 4; D = 2x + 3 і довести, що значення цього виразу за довільних значень x ділиться на 6.

10^. Розв’язати рівняння:

а)  ; б)  .

11^. Довести тотожність a^2m+1 + 2a^2mb + abⁿ + 2b^n + 1 = (a + 2b)(a^2m + bⁿ), де m і n — натуральні числа.