Рассмотрим характеристики входящего потока требований (заявок)

Входящий поток требований представляет собой совокупность требований, которые поступают в систему и нуждаются в обслуживании. Входящий поток требований изучается с целью установления закономерностей этого потока и дальнейшего улучшения качества обслуживания. В большинстве случаев входящий поток неуправляем и зависит от ряда случайных факторов. Число требований, поступающих в единицу времени, случайная величина. Случайной величиной является также интервал времени между соседними поступающими требованиями. Однако среднее количество требований, поступивших в единицу времени, и средний интервал времени между соседними поступающими требованиями предполагаются заданными.

Среднее число требований, поступающих в систему обслуживания за единицу времени, называется интенсивностью поступления требований, и определяется следующим соотношением:

Для многих реальных процессов поток требований достаточно хорошо описывается законом распределения Пуассона. Такой поток называется простейшим и обладает следующими свойствами:

1. Стационарность, если вероятность попадания того или иного числа событий на участок времени определенной длины зависит только от длины этого участка. Например, число вагонов, поступающих под погрузку в среднем в сутки должно быть одинаковым для различных периодов времени, к примеру, в начале и в конце декады.

2. Отсутствие последействия, т.е. требований, поступающих в данный отрезок времени, не зависит от числа требований, обслуженных в предыдущем промежутке времени. Например, число автомобилей, прибывших за материалами в десятый день месяца, не зависит от числа автомобилей, обслуженных в четвертый или любой другой предыдущий день данного месяца.

3. Ординарность, т.е. невозможность одновременного поступления двух или более требований. Вероятность того, что в обслуживающую систему за время t поступит именно k требований:

,

где λ(интенсивность) - среднее число требований, поступивших на обслуживание в единицу времени.

Одноканальная смо с отказами

Простейшей одноканальной моделью с вероятностными входным потоком и процедурой обслуживания является модель, характери­зуемая показательным распределением как длительностей интерва­лов между поступлениями требований, так и длительностей обслу­живания. При этом плотность распределения длительностей интер­валов между поступлениями требований имеет вид

где λ — интенсивность поступления заявок в систему (среднее число заявок, поступающих в систему за единицу времени). Плотность распределения длительностей обслуживания:

,

где – интенсивность обслуживания, t_об – среднее время обслуживания одного клиента.

Пусть система работает с отказами. Можно определить абсолютную и относительную пропускную способность системы.

Относительная пропускная способность равна доли обслуженных заявок относительно всех поступающих и вычисляется по формуле: . Эта величина равна вероятности Р₀ того, что канал обслуживания свободен.

Абсолютная пропускная способность (А) — среднее число заявок, которое может обслужить система массового обслуживания в единицу времени:

.

Вероятность отказа в обслуживании заявки будет равна вероятности состояния «канал обслуживания занят»:

.

Данная величина Р_отк может быть интерпретирована как средняя доля необслуженных заявок среди поданных.

Пример. Пусть одноканальная СМО с отказами представляет собой один пост ежедневного обслуживания для мойки автомобилей. Заявка — автомобиль, прибывший в момент, когда пост занят, — получает отказ в обслуживании. Интенсивность потока автомобилей λ 1,0 (автомобиль в час). Средняя продолжительность обслуживания — t_об=1,8 часа.

Требуется определить в установившемся режиме предельные значения: относительной пропускной способности q; абсолютной пропускной способности А; вероятности отказа Р_отк; Сравнить фактическую пропускную способность СМО с номинальной, которая была бы, если бы каждый автомобиль обслуживался точно 1,8 часа и автомобили следовали один за другим без перерыва. Решение

Определим интенсивность потока обслуживания: .

Вычислим относительную пропускную способность: q = .

Величина q означает, что в установившемся режиме система будет обслуживать примерно 35% прибывающих на пост автомобилей. Абсолютную пропускную способность определим по формуле: А=λ×q=1×0,356=0,356.

Это означает, что система способна осуществить в среднем 0,356 обслуживания автомобилей в час.

Вероятность отказа: Р_отк=1-q=1-0,356=0,644.

Это означает, что около 65% прибывших автомобилей на пост ЕО получат отказ в обслуживании.

Определим номинальную пропускную способность системы: А_ном= (автомобилей в час). Оказывается, что А_ном в раза больше, чем фактическая пропускная способность, вычисленная с учетом случайного характера потока заявок и времени обслуживания.