Пример математической модели

1) Задачи о движении снаряда. Рассмотрим следующую задачу механики.

Снаряд пущен с Земли с начальной скоростью v₀ = 30 м/с под углом a = 45° к ее поверхности; требуется найти траекторию его движения и расстояние S между начальной и конечной точкой этой траектории.

Решение. Пренебрегая размерами снаряда, будем считать его материальной точкой. Введем систему координат xOy, совместив ее начало O с исходной точкой, из которой пущен снаряд, ось x направим горизонтально, а ось y — вертикально (рис. 2). Тогда, как это известно из школьного курса физики, движение снаряда описывается формулами:

Рис. 2 Схема движения снаряда

где t — время, g = 10 м/с² — ускорение свободного падения. Эти формулы и дают математическую модель поставленной задачи. Выражая t через x из первого уравнения и подставляя во второе, получим уравнение траектории движения снаряда:

Эта кривая (парабола) пересекает ось x в двух точках: x₁ = 0 (начало траектории) и (место падения снаряда). Подставляя в полученные формулы заданные значения v0 и a, получим

ответ: y = x – 90x², S = 90 м.

Отметим, что при построении этой модели использован ряд предположений: например, считается, что Земля плоская, а воздух и вращение Земли не влияют на движение снаряда.

Выводы

В данной теме рассмотрены следующие вопросы: основные понятия математического моделирования, функции и подходы к описанию моделей, их классификация, основные методы исследования моделей. Методы оценки адекватности моделей.

Вопросы для самопроверки

1. Охарактеризуйте понятия: стандартизация, уровень стандартизации, стандарт, предварительный стандарт, документ технических условий, свод правил.

2. Охарактеризуйте уровни стандартизации.

3. Опишите применяемость отраслевых стандартов.

Internet-ресурсы

№ п/п	Адрес	Описание
1.1	http://stunik.ru/component/content/article/8988-3-120.html#_toc247686765	Понятие модели. Классификация видов моделирования. Компьютерное моделирование
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6

Тема 2. Аналитические модели систем массового обслуживания.

Цели: изучить основные понятия моделирования систем массового обслуживания.

Задачи:

• Основы моделирования систем массового обслуживания.

• Потоки заявок. Классификация потоков.

• Марковские модели (простейшие, одноканальные и многоканальные с очередями).

• Методы приближенной оценки характеристик систем массового обслуживания.

После изучения темы Вы должны знать:

• Основы моделирования систем массового обслуживания.

• Потоки заявок. Классификация потоков.

• Марковские модели (простейшие, одноканальные и многоканальные с очередями).

• Методы приближенной оценки характеристик систем массового обслуживания.

Большой класс систем, которые сложно изучить аналитическими способами, но которые хорошо изучаются методами статистического моделирования, сводится к системам массового обслуживания (СМО).

Системой массового обслуживания (СМО) называется любая система, предназначенная для обслуживания какого-либо потока заявок. Система может осуществлять конечное число операций различного типа. Элемент системы, в котором происходят операции, называется обслуживающим прибором.

Основными элементами СМО являются:

1. Входящий поток требований (заявка на обслуживание)

2. Накопитель (очередь)

3. Приборы (каналы обслуживания)

4. Выходящий поток (обслуженная заявка)

Заявки обслуживаются каналами (обслуживания). Каналы могут быть разными по назначению, характеристикам, они могут сочетаться в разных комбинациях; заявки могут находиться в очередях и ожидать обслуживания. Часть заявок может быть обслужена каналами, а части могут отказать в этом. Важно, что заявки, с точки зрения системы, абстрактны: это то, что желает обслужиться, то есть пройти определенный путь в системе. Каналы являются также абстракцией: это то, что обслуживает заявки.

Примерами СМО (см. табл. 1) могут служить: автобусный маршрут и перевозка пассажиров; производственный конвейер по обработке деталей; влетающая на чужую территорию эскадрилья самолетов, которая «обслуживается» зенитками ПВО; ствол и рожок автомата, которые «обслуживают» патроны; электрические заряды, перемещающиеся в некотором устройстве и т. д.

Цель теории массового обслуживания – выработка рекомендаций по рациональному построению СМО.

Таблица 1. Примеры систем массового обслуживания

СМО Заявки Каналы Автобусный маршрут и перевозка пассажиров Пассажиры Автобусы Производственный конвейер по обработке деталей Детали, узлы Станки, склады Влетающая на чужую территорию эскадрилья самолетов, которая «обслуживается» зенитками ПВО Самолеты Зенитные орудия, радары, стрелки, снаряды Ствол и рожок автомата, которые «обслуживают» патроны Патроны Ствол, рожок Электрические заряды, перемещающиеся в некотором устройстве Заряды Каскады технического устройства

На рис 3. изображена структурная схема типичной системы массового обслуживания – ремонтного предприятия (например, по ремонту ПЭВМ). Порядок ее работы ясен из схемы и не требует разъяснений.

Рис 3. Структурная схема СМО ПЭВМ