Свойства двойственных задач.

Рассмотрим формально две задачи I и II линейного программирования, представленные в табл. 6.1, абстрагируясь от содержательной интерпретации параметров, входящих в их экономико-математические модели. Обе задачи обладают следующими свойствами: 1. В одной задаче ищут максимум линейной функции, в другой - минимум. 2. Коэффициенты при переменных в линейной функции одной задачи являются свободными членами системы ограничений в другой. 3. Каждая из задач задана в стандартной форме, причем в задаче максимизации все неравенства вида "<=", а в задаче минимизации - все неравенства вида ">=". 4. Матрицы коэффициентов при переменных в системах ограничений обеих задач являются транспонированными друг к другу: для задачи I A =

для задачи II А' =

5. Число неравенств в системе ограничений одной задачи совпадает с числом переменных в другой задаче. 6. Условия неотрицательности переменных имеются в обеих задачах. Две задачи I и II линейного программирования, обладающие указанными свойствами, называются симметричными взаимно двойственными задачами. В дальнейшем для простоты будем называть их просто двойственными задачами. Исходя из определения, можно предложить следующий алгоритм составления двойственной задачи. 1. Привести все неравенства системы ограничений исходной задачи к одному смыслу: если в исходной задаче ищут максимум линейной функции, то все неравенства системы ограничений привести к виду "<=", а если минимум - к виду ">=". Для этого неравенства, в которых данное требование не выполняется, умножить на -1. 2. Составить расширенную матрицу системы А₁ в которую включить матрицу коэффициентов при переменных А, столбец свободных членов системы ограничений и строку коэффициентов при переменных в линейной функции. 3. Найти матрицу А'₁, транспонированную к матрице А₁. 4. Сформулировать двойственную задачу на основании полученной матрицы A'₁ и условия неотрицательности переменных.

Соответствие переменных
Переменные исходной задачи
Первоначальные	Дополнительные
Дополнительные	Первоначальные
Переменные двойственной задачи

2.4. Решение задач с помощью симплексных таблиц

В этом разделе описано использование симплексных таблиц для решения задач. Использование симплексных таблиц весьма удобно для ручного расчёта задач. Для заполнения первой симплексной таблицы надо привести систему к каноническому виду. Затем если надо ищется первоначальное допустимое решение или задачу надо решать M-методом. Кроме того, систему представляют в расширенном виде.

(2.19)

Обратите внимание, что коэффициенты при переменных в функции меняют знак! Все введённые переменные имеют тот же знак, что и свободные члены иначе надо использовать M-метод (или заранее отыскать ПДБР). Далее эти данные заносятся в первую симплексную таблицу, общий вид которой представлен ниже.

Базис	Свободный член	Переменные								Оценочное отношение
		x1	...	xj	...	xs	...	xn+m
x1	b1	a11	...	a1j	...	a1s	...	a1n+m	g1
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
xi	bi	ai1	...	aij	...	ais	...	ain+m	gi
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
xq	bq	aq1	...	aqj	...	aqs	...	aqn+m	gq
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
xm	bm	am1	...	amj	...	ams	...	amn+m	gm
F	c0	c1	...	cj	...	cs	...	cn+m	MAX/MIN

(2.20)

Теперь, поясним, что есть что. Каждая строка - это уравнение в расширенной системе (смотрите формулу 2.19). В столбце "Базис" перечисляются все базисные (основные) переменные, их число равно числу уравнений в системе ограничений. Следующий столбец, "Свободные член" заполняется значениями свободных членов уравнения. В самую верхнюю строку (под надписью "переменные") выписываются все переменные. Самая нижняя строка, начиная с c₁, заполняется значениями коэффициентов при переменных, которые написаны вверху таблицы, из уравнения функции (с обратным знаком, как в расширенной системе), если в уравнении функции такой переменной нет, то пишем ноль. Ячейки "a" заполняются так. Если вверху столбца написана основная переменная, то на пересечении этого столбца со строкой, в которой написана та же переменная ставим 1, во все остальные ячейки столбца пишем 0. Если же вверху столбца неосновная переменная, то в ячейки записываются её коэффициенты из соответствующего уравнения, если её нет в этом уравнении, то пишем 0. В ячейку c₀, на первом шаге просто пишем ноль.

Далее надо провести проверку на оптимальность решения. Это делается легко, если задача на минимум то решение оптимально, если все c, кроме c₀, имеют отрицательные знаки, если же задача на максимум, то когда положительные знаки.

Если решение не оптимально, ищем разрешающий столбец (индекс s), он определяется коэффициентом при переменной в уравнении функции, то есть нижней строкой начиная c₁. Для задачи на минимум это любой столбец, где c максимальный, положительный элемент, а для задачи на максимум, минимальный, отрицательный элемент. Далее проводим расчёт оценочных отношений и заполняем соответствующий столбец. Расчет производится в соответствии со следующим правилом:

• если b_i и a_is имеют разные знаки, то g_i равно бесконечности

• если b_i равно нулю и a_is меньше нуля, то g_i равно бесконечности

• если b_i равно нулю и a_is больше нуля, то g_i равно нулю

• если a_is равно нулю, то g_i равно бесконечности

• иначе g_i равно частному от деления b_i на a_is

После того, как столбец с g заполнен. Выбирается разрешающая строка (индекс q). Это строка, в которой самое минимальное оценочное отношение (но не ноль и не бесконечность). На пересечении разрешающих строки и столбца находится разрешающий элемент - a_qs.

Теперь составляется новая таблица. В столбце "Базис" вместо старой переменной - x_q пишем новую - x_s. Опять на пересечении основных переменных ставим 1, а остальные клетки в столбцах основных переменных заполняем нулями (включая нижнюю строку). Далее, новую строку с номером q получаем путём деления старой строки на разрешающий элемент (a_qs), при этом считаем только пустые клетки (те которые в столбцах неосновных переменных).

Остальные клетки считаем по следующим формулам:

• новая a_ij ровна старой a_ij-a_is*a_qj/a_qs

• новая b_i ровна старой b_i-a_is*b_q/a_qs

• новая c_j ровна старой c_j-c_s*a_qj/a_qs

Клетка c₀ заполняется как старая c₀-c_s*g_q.

Затем снова проверяем решение на оптимальность, если оно не оптимально ищем разрешающий элемент и так далее, пока не найдём оптимума.

Но возможны и другие ситуации - особые случаи симплексного метода. Например, задача не имеет решения, если все оценочные отношения g_i равны нулям и бесконечностям. Кроме того, задача так же может зациклится. Эти случаи тоже следует учитывать.

1 Севостьянов, А.Г. Моделирование технологических процессов: учебник / А.Г. Севостьянов, П.А. Севостьянов. – М.: Легкая и пищевая промышленность, 1984. — 344 с.

2 Математическое моделирование систем связи : учебное пособие / К. К. Васильев, М. Н. Служивый. – Ульяновск : УлГТУ, 2008. – 170 с.

3 Хан, Г. Статистические модели в инженерных задачах / Г. Хан, С. Шапиро; пер. с англ. Е. Г. Коваленко, под ред. В. В. Налимова. – М. : Мир, 1969. – 396 с.

4 Вероятностные методы в инженерных задачах : справочник / А. Н. Лебедев, М. С. Куприянов, Д. Д. Недосекин, Е. А. Чернявский. – СПб. : Энергоатомиздат, 2000. – 333 с.

5 Гультяев, А. В. Визуальное моделирование в среде MATLAB : учебный курс / А. В. Гультяев. – СПб. : Питер, 2000. – 432 с.

40