23. Полиномы Жегалкина. Процедуры приведения к пнф.

Полином Жегалкина (ПНФ, алгебраическая нормальная форма, АНФ) — многочлен над Z2, то есть полином с коэффициентами вида 0 и 1, где в качестве произведения берется конъюнкция, а в качестве сложения «ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ».

Полином Жегалкина представляет собой сумму по модулю два произведений инвертированных переменных, а также (если необходимо) константы 1. Формально полином Жегалкина можно представить в виде В полиноме Жегалкина отсутствуют операции «ИЛИ» и «НЕ». Таким образом, полином Жегалкина можно получить из СДНФ, выразив операции «ИЛИ» и «НЕ» через операции «ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ», «И», константу 1. Для этого применяются следующие соотношения:

24. Конечно-значные логики: алгебра Вебба, алгебра Поста, алгебра Россера–Тьюкетта.

Ф ункция Вебба

Конечнозначная алгебра Вебба

алгебра Поста

дизъюнкция

цикл

алгебра Россера—Тьюкетта

конъюнкция

характеристические функции

25. Исчисление высказываний как формальная система, множественность аксиоматизаций. Проблема выводимости. Прямой вывод.

Исчисления высказываний имеют дело с теми же логическими формулами, что и алгебры логики, но устроены совершенно по-другому - как формальные системы, с помощью которых из исходного множества формул, называемых аксиомами, выводятся с использованием правил (или механизмов) вывода (или доказываются) другие формулы. Формальная система - результат строгой формализации теории, предполагающей полную абстракцию от смысла слов используемого языка, причем все условия, регулирующие употребление этих слов в теории, явно высказаны посредством аксиом и правил, позволяющих вывести одну фразу из других. Под объектами понимаются символические и графические представления материальных тел, а также ситуаций, состояний, различных систем связей и информационных структур. Объекты формальной системы состоят из неделимых элементов различных видов. Конечное множество видов элементов называется алфавитом системы.

В прямом выводе используется знание семантики тех операторов, через которые строятся аксиомы. Если из аксиомы следует что A&B, то смысл таков, что истинным будет высказывание А и В, которые войдут в цепочку вывода. В прямом выводе строится цепочка высказываний, она и будет выводом.

26, 27, 28

26. Теорема дедукции. Связь выводимости и истинности формул в логике высказываний. Выполнимые и общезначимые формулы.

Если из системы гипотез Г и А выводится В, то из системы гипотез Г выводится А->В и наоборот.

Высказыванием является повествовательное предложение, которое формализует некоторое выражение мысли. Это утверждение, которому всегда можно поставить в соответствие одно из двух логических значений: ложь или истина. Логическая формула – это составное высказывание, состоящее из элементарных высказываний, соединенных связками. Формула A называется общезначимой, если во всех своих интерпретациях она принимает значение «истина». Выполнимыми называются формулы, допускающие указание интерпретации, в которой эта формула истинна.