63. Многозначные логики. Трёхзначная логика я.Лукасевича. M-значная логика э.Поста.

Многозначные логики - тип формальной логики, характерный наличием более чем двух возможных истинностных значений (истинности и ложности)

Я. Лукасевичем была предложена трехзначная логика, основанная на предположении, что высказывания бывают истинными, ложными и возможными, или неопределенными. К последним были отнесены высказывания наподобие: <Я буду в Москве в декабре будущего года>. Событие, описываемое этим высказыванием, сейчас никак не предопределено ни позитивно, ни негативно. Значит, высказывание не является ни истинным, ни ложным, оно только возможно.

Все законы трехзначной логики Лукасевича оказались также законами и классической логики; обратное, однако, не имело места. Ряд классических законов отсутствовал в трехзначной логике. Среди них были закон противоречия, закон исключенного третьего, законы косвенного доказательства и др. То, что закона противоречия не оказалось в трехзначной логике, не означало, конечно, что она была в каком-то смысле противоречива или некорректно построена.

Первыми примерами конечнозначных логик явились трехзначная логика Лукасевича, которая порождается функциями 1-x, min(1,1-x1+x2), где x1, x2 принимают значения 0,1/2,1 и m-значная логика Поста, которая порождается функциями x1+1 (mod m), max(x1, x2), где x1, x2 принимают значения 0,1, ..., m-1. 

Исходя из связи 3-решеток с булевой алгеброй, мы определяем n-арную решетку Ln(B) над булевой алгеброй B как множество возрастающих цепей из n–1 элементов B с покомпонентным порядком. Множество постоянных цепей, все элементы которых равны, образуют в Ln(B) булеву подалгебру, изоморфную B; ее элементы называются булевыми. Эквивалентным образом можно определить n-арные решетки как универсальные алгебры (дистрибутивные решетки с n нульарными и n унарными операторами), удовлетворяющие некоторым тождествам, т.е. как многообразие Поста. n-арная решетка над простейшей булевой алгеброй имеет n элементов и содержится в любой n-арной решетке. Решётка в теории множеств — частично упорядоченное множество, в котором каждое двухэлементное подмножество имеет как точную верхнюю (sup), так и точную нижнюю (inf) грани.

На n-арной решетке определяются n модальных функций – все они, кроме инверсии, суть эндоморфизмы обычной решетки, имеющие булевы значения; для n = 3 это – функции «необходимо» и «возможно». Относительно инверсии они не гомоморфизмы, за исключением k-ой при n=2k. Интервал между наименьшим и наибольшим модусом назовем модальным интервалом элемента x; таким образом, любой элемент вместе со всеми своими модусами принадлежит своему модальному интервалу. Введенные модальные функции порождают так наз. модальный моноид мощности 2n (при n>2), все элементы которого суть эндоморфизмы или антиэндоморфизмы решетки. При n=2 модальный моноид содержит не 4, а 2 функции и есть группа.

64. Предпосылки возникновения теории алгоритмов. Основные требования к алгоритмам. Подходы к уточнению понятия «алгоритм». Три основных типа универсальных алгоритмических моделей.

Алгоритм – предписание однозначно задающее процесс преобразования исходных данных в требуемый результат.

Процесс преобразования состоит из элементарных дискретных шагов, применение которых, конечное число раз, приводит к конечному результату. Теория алгоритмов – метатеория изучающая различные (качественное и количественное) свойства алгоритмов.

Основные требования к алгоритмам:

• Каждый алгоритм имеет дело с данными — входными, промежуточными и выходными Þ необходимо уточнить понятие данных

• Данные для своего размещения требуют памяти

• Алгоритм состоит из отдельных элементарных шагов, или действий, причем множество различных шагов, из которых составлен алгоритм, конечно

• Последовательность шагов алгоритма детерминирована

• Результативность (сходимость)

• Следует различать: а) описание алгоритма (инструкцию или программу); б) механизм реализации алгоритма (например, компьютер); в) процесс реализации алгоритма.

Подходы к уточнению понятия «алгоритм»:

• Выбирается конечный набор исходных объектов, которые объявляются элементарными, и конечный набор способов построения из них новых объектов

• уточнение понятия «данные» — множества слов в конечных алфавитах

• для уточнения детерминизма будем использовать либо блок-схемы и эквивалентные им словесные описания, либо описание механизма реализации алгоритма

• нужно!!! зафиксировать набор элементарных шагов и договориться об организации памяти

Три основных типа универсальных алгоритмических моделей:

• Первый тип связывает понятие алгоритма с наиболее традиционными понятиями математики — вычислениями и числовыми функциями. Наиболее развитая и изученная модель этого типа — рекурсивные функции.

• Второй тип основан на представлении об алгоритме как о некотором детерминированном устройстве, способном выполнять в каждый отдельный момент лишь весьма примитивные операции. Основной теоретической моделью этого типа является машина Тьюринга.

• Третий тип алгоритмических моделей — это преобразования слов в произвольных алфавитах, в которых элементарными операциями являются подстановки, т. е. замены куска слова (подслова) другим словом. Преимущества этого типа — в его максимальной абстрактности и возможности применить понятие алгоритма к объектам произвольной (не обязательно числовой) природы.

65, 66