18. Булева алгебра логических операций. Основные эквивалентные соотношения (законы) в булевой алгебре.

Алгебра (Р₂; &, Ú, Ø), основным множеством которой является множество всех логических функций Р₂, а операциями дизъюнкция, конъюнкция и отрицание, называется булевой алгеброй логических операций. Операции булевой алгебры часто называют булевыми операциями

ассоциативность aÚ(bÚc)=(aÚb)Úc, aÙ(bÙc)=(aÙb)Ùc;

коммутативность aÚb=bÚa, aÙb=bÙa;

дистрибутивность aÙ(bÚc)=aÙbÚaÙc; aÚbÙc=(aÚb)Ù(aÚc);

идемпотентность aÚa=a, aÙa=a;

двойное отрицание ØØa=a;

законы нуля (лжи) aÚ0=a, aÙ0=0, aÙØa=0;

законы единицы (истины) aÚ1=1, aÙ1=a, aÚØa=1.

де-Моргана ØaÚØb=Ø(aÙb), ØaÙØb=Ø(aÚb);

противоречия aÙØа=0;

исключенного третьего aÚØа=1

19. Разложение функций по переменным. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма.

В ведем обозначения x⁰ = `x и x¹ = x. Пусть а — параметр, равный 0 или 1. Тогда x^a = 1, если x = а, и x^a = 0, если x ¹ а. Теорема. Всякая логическая функция f(x₁, …, x_n) может быть представлена в следующем виде:

где m £ n, а дизъюнкция берется по всем 2^m наборам значений переменных x₁, …, x_m.Это равенство называется разложением по переменным x₁, …, x_m.

ДНФ это дизъюнкция элементарных конъюнкций. СДНФ - каждый элемент конъюнкции содержит все переменные и элементарные конъюнкции различны. СДНФ функции f содержит ровно столько конъюнкций, сколько единиц в таблице f. Выписываются единичные наборы векторов, соедин конъюнкциями. Те переменные ,которые равны 0 ,над ними ставится отрицание. Потом конъюнкции соедин дизъюнкциями.

20. Днф, сднф, кнф, скнф. Процедуры приведения к днф и кнф.

ДНФ это дизъюнкция норм конъюнкций.

1. Все отрицания спустить до переменных с помощью де Моргана и двойного отриц.

2. Раскрыть скобки с помощью ассоциативности и дистрибутивности.

3. Удалить лишние конъюнкции и повторения переменных с помощью идемпотентности, противоречия и искл третьего.

4. Удалить константы с помощью законов нуля и единицы.

СДНФ - каждый элемент конъюнкции содержит все переменные и элементарные конъюнкции различны.(элементарной конъюнкцией назыв переменные, соед конъюнкцией)

КНФ конъюнкция норм дизъюнкций. Аналогично!

СКНФ — каждый элементарный дизъюнкт содержит все переменные и элементарные дизъюнкции различны.

2 1. Двойственность.

Функция f₁(x₁,…, x_n) называется двойственной к функции f₂(x₁,…, x_n), если

Отношение двойственности между функциями симметрично. Из определения двойственности ясно, что для любой функции двойственная функция определяется однозначно. В частности, может оказаться, что функция двойственна самой себе. В этом случае она называется самодвойственной.

Примеры: дизъюнкция двойственна конъюнкции; константа 1 двойственна 0; отрицание самодвойственно.

22. Алгебра Вебба, алгебра Шеффера, импликативная алгебра, коимпликативная алгебра, алгебра Жегалкина.

Алгебра логики (алгебра высказываний) — раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями

алгебра Вебба: .

алгебра Шеффера: .

импликативная алгебра: .

коимпликативная алгебра: .

алгебра Жегалкина: .

23, 24, 25