12. Алгебра логики. Функции алгебры логики. K-значные логики.

Логические формулы рассматриваются как алгебраические выражения, которые можно преобразовывать по правилам, реализующим логические законы.

Алгебра логики — раздел математической логики, изучающий строение сложных логических высказываний (формул) и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.

Алгебра логики — раздел математической логики, изучающий логические операции над высказываниями. Предполагается, что они могут быть только истинными или ложными.

Формулы алгебры логики состоят из логических переменных, логических операций, скобок. Каждая формула задает логическую функцию — функцию от логических переменных, которая может принимать только 2 значения. Рассмотрим двухэлементное множество B и двоичные переменные, принимающие значения из B. Алгебра, образованная множеством B вместе со всеми возможными операциями на нем, называется алгеброй логики.

Функция алгебры логики (от переменных, логическая ф-ия) — n-арная операция на , т. е. .

Множество всех логических функций обозначается , множество всех логических функций n переменных — . Алгебра, образованная k-элементным множеством вместе со всеми операциями на нем, называется алгеброй k-значной логики, а n-арные операции на k-элементном множестве называются k-значными логическими функциями n переменных; множество всех k-значных логических функций обозначается P_k.

13. Способы задания функций алгебры логики. Единичные и нулевые наборы функций алгебры логики. Фиктивные (несущественные) переменные.

Функция алгебры логики (от переменных, логическая ф-ия) — n-арная операция на , т. е. .

Логическая функция — зависимость поведения выходных логических величин от изменения входных.

Способы задания функций алгебры логики: таблицы истинности, таблицы Кэли, формулы.

Таблица истинности (ТИ) — таблица, описывающая логические функции ( ). В левой части — перечислены все наборы значений переменных, в правой части — значения функций на этих наборах. ТИ содержит строк, — количество переменных (входов), — все комбинации значений (состояний) переменных. ТИ содержит столбцов, — количество функций (выходов). Часто ТИ описывает только одну функцию ( ).

Единичный набор — на котором функция , единичное множество — множество единичных наборов.

Нулевой набор — на котором функция , нулевое множество — множество нулевых наборов.

Фиктивная переменная — переменная в , если при любых значениях остальных переменных. В этом случае зависит от переменной.

Таблица Кэли (ТК) — (в общей алгебре) таблица, описывающая структуру конечных алгебраических систем с одной бинарной операцией. Названа в честь английского математика Артура Кэли.

Размерность ТК: — содержит строк и столбец. Заглавная строка таблицы заполняется в некотором порядке (обычно по возрастанию) символами, обозначающими различные элементы алгебры, теми же символами и в том же порядке заполняется заглавный столбец. Если на -м месте в заглавном столбце стоит символ и на -м месте в заглавной строке — символ , то на пересечении -й строки и -го столбца записывается символ, обозначающий произведение .

Таблица умножения в десятичной системе:

	0	1	2	3
0	0	0	0	0
1	0	1	2	3
2	0	2	4	6
3	0	3	6	9

14