82. Полиномиальная сводимость и np-полнота. Np-полные задачи. Примеры np-полных задач. Теорема Кука. Примеры практически значимых np-полных задач.

Алгоритмическая задача P1 полиномиально сводится к задаче Р2, если существует полиномиальный алгоритм для решения задача Р1, возможно, вызывающий в ходе своей работы процедуру для решения задачи Р2.

Задача разрешения называется NP-полной, если она принадлежит к классу NP и произвольная задача из NP сводится к ней полиномиально.

• Если мы имеем задачу 1 и решающий эту задачу алгоритм, выдающий правильный ответ для всех конкретных проблем, составляющих задачу, а для задачи 2 алгоритм решения неизвестен, то если мы можем переформулировать (свести) задачу 2 в терминах задачи 1, то мы решаем задачу 2.

• Таким образом, если задача 1 задана множеством конкретных проблем D_A1, а задача 2 – множеством D_A2, и существует функция fs (алгоритм), сводящая конкретную постановку задачи 2 (d_А2) к конкретной постановке задачи 1 (d_А1): fs(d(2)ÎD_A2) = d(1)ÎD_A1, то задача 2 сводима к задаче 1.

• Если при этом F_A (fs) = O(n^k), т.е. алгоритм сведения принадлежит классу P, то говорят, что задача 1 полиномиально сводится к задаче 2.

Теорема Кука утверждает, что задача о выполнимости булевой формулы в КНФ является NP-полной.

Примеры NP-полных задач:

• 3-выполнимость — выполнимость для КНФ, к которой каждая дизъюнкция содержит ровно 3 литерала (литерал — это либо переменная, либо переменная с отрицанием).

• Вершинное покрытие — имеется ли в графе G(V, E) вершинное покрытие не более чем из k элементов, т. е. такое V¢ Í V, что |V¢| < k и хотя бы один конец любого ребра принадлежит V¢?

• Гамильтонов цикл.

• k-раскрашиваемостъ — можно ли раскрасить граф G(V, E) в k цветов, где k <|V|?

• Изоморфизм подграфу — изоморфен ли граф G₁ какому-нибудь подграфу графа G₂?