5. Основные тавтологии, выражающие свойства логических операций.
Тавтология
(общезначимая, тождественно
истинная) — формула
,
истинная при подстановке любых
конкретных высказываний
.
Пример: Формула истинна при любых значениях .
Тавтологии, выражающие свойства логических операций (равносильные преобразования):
Закон исключения третьего:
.Закон отрицания противоречия:
.Закон двойного отрицания:
.Закон тождества:
.Закон контрапозиции:
.Закон силлогизма:
.Закон противоположности:
.Правило добавления антецедента:
.
Антецедент — левый
член импликации.Правило из ложного что угодно:
.Правило Modus Ponens:
.Правило Modus Tollens:
.Правило перестановки посылок:
.Правило объединения посылок:
.Правило разбора случаев:
.Правило приведения к абсурду:
.Законы поглощения:
;
.Законы де Моргана:
;
.
6. Основные правила получения тавтологий.
Модус
поненс. Если формулы
и
являются тавтологиями, то
тоже тавтология.
Пропозициональная переменная — переменная, область знач. которой состоит из 2 истинностных значений: и .
Правило
подстановки. Пусть в
формуле
содержится пропозициональная переменная
и
— произвольная формула. Если в
вместо
везде подставить
,
получим новую формулу (которая
называется формулой, полученной из
в результате подстановки в нее
формулы
вместо переменной
).
Обозначается:
.
Пример:
,
и
,
.
7. Логическая равносильность формул. Алгоритм проверки логической равносильности формул. Свойства отношения равносильности на множестве формул. Равносильные преобразования.
Равносильность
формул. Формулы
и
равносильны, если при любых значениях
входящих в них пропозициональных
переменных логические значения,
получающиеся из формул
и
,
совпадают. Обозначается:
(
).
Теорема:
Две формулы
и
являются равносильными, когда формула
является тавтологией.
Алгоритм проверки равносильности: если в 2 формулах есть одинаковые переменные, сравниваются таблицы истинности формул. Если заключительные столбцы этих таблиц совпадают, формулы равносильны.
Связь
следствия и эквивалентности.
.
Свойства равносильности:
Рефлексивность.
.Симметричность.
.Транзитивность.
.
См. вопрос 5 — равносильные преобразования (тавтологии, выражающие свойства логических операций).
8, 9, 10
8. Логическое следование формул. Логические следствия и посылки. Алгоритм проверки формул на логическое следование. Признаки логического следствия. Два свойства логического следования.
Следование
формул. Формула
следует из посылок (формул)
,
…,
,
если всякий раз, когда посылки
истинны, следствие
истинно.
.
Посылка — утверждение, предназначенное для обоснования / объяснения некоторого аргумента. В логике аргумент — множество предложений (суждений), одни из которых являются посылками, другие — логическими выводами. Посылки иногда опускают, в этом случае они называются опущенными посылками.
Связь
эквивалентности и следствия.
.
Формула
является следствием
,
если формула
— тавтология.
Признаки логического следования:
Для
любых формул
,
…,
,
,
следущие утверждения равносильны:
.
.
.
Алгоритм проверки следования: Если в следствии и посылках пропозициональные переменные одинаковые, строятся таблицы истинности для всех указанных формул. Если истинна во всех тех строках, где все одновременно являются истинными, является следствием из посылок .
Свойства следования:
1.
при всех
.
2.
Если
при
и
,
то
.