70. Машина Поста.
Машина Поста (МП) — абстрактная вычислительная машина.
Принцип работы
Машина Поста состоит из каретки (или считывающей и записывающей головки) и разбитой на секции бесконечной в обе стороны ленты. Каждая секция ленты может быть либо пустой — 0, либо помеченной меткой 1. За один шаг каретка может сдвинуться на одну позицию влево или вправо, считать, поставить или стереть символ в том месте, где она стоит. Работа машины Поста определяется программой, состоящей из конечного числа строк. Для работы машины нужно задать программу и ее начальное состояние. Кареткой управляет программа, состоящая из строк команд. Каждая команда имеет следующий синтаксис: i K j,
где i - номер команды, K – действие каретки, j - номер следующей команды (отсылка).
Всего для машины Поста существует шесть типов команд:
V j - поставить метку, перейти к j-й строке программы.
X j - стереть метку, перейти к j-й строке программы.
<- j - сдвинуться влево, перейти к j-й строке программы.
-> j - сдвинуться вправо, перейти к j-й строке программы.
После запуска возможны варианты:
работа может закончиться невыполнимой командой (стирание несуществующей метки или запись в помеченное поле);
работа может закончиться командой Stop;
работа никогда не закончится.
71, 72
71. Рекурсивные функции. Примитивно-рекурсивные функции. Примитивно-рекурсивные операторы. Частично-рекурсивные функции. Тезис Черча.
Определению Р. ф. может быть придана следующая форма. Фиксируется небольшое число чрезвычайно простых исходных функций, вычислимых в упомянутом выше интуитивном смысле (функция, тождественно равная нулю, функция прибавления единицы и функции, выделяющие из системы натуральных чисел член с данным номером); фиксируется небольшое число операций над функциями, переводящих вычислимые функции снова в вычислимые (операторы подстановки, примитивной рекурсии и минимизации). Тогда Р. ф. определяются как такие функции, которые можно получить из исходных в результате конечного числа применений упомянутых выше операций.
Функция
f является примитивно-рекурсивной, если
её можно получить из S1,O^n,
конечным числом операций суперпозиции
примитивной рекурсии.
Операторы подстановки и примитивной рекурсии определяются следующим образом:
Оператор суперпозиции. Пусть f — функция от m переменных, а g1,..,gm — упорядоченный набор функций от n переменных каждая. Тогда результатом суперпозиции функций gk в функцию f называется функция h от n переменных, сопоставляющая любому упорядоченному набору x1,...,xn натуральных чисел число h(x1,...,xn)=f(g1(x1,...,xn),...,gm(x1,...,xn))
Оператор примитивной рекурсии. Пусть f — функция от n переменных, а g — функция от n + 2 переменных. Тогда результатом применения оператора примитивной рекурсии к паре функций f и g называется функция h от n + 1 переменной вида
h(x1,...,xn,0)=f(x1,...,xn)
h(x1,...,xn,y+1)= g(x1,...,xn,y, h(x1,...,xn,y))
В данном определении переменную y можно понимать как счетчик итераций, f — как исходную функцию в начале итерационного процесса, выдающего некую последовательность функций n переменных, начинающуюся с f, g — как оператор, принимающий на вход n переменных x1,...,xn , номер шага итерации (y) , функцию на данном шаге итерации, и возвращающий функцию h(x1,...,xn,y) на следующем шаге итерации.
Частично рекурсивная функция определяется аналогично примитивно рекурсивной, только к двум операторам суперпозиции и примитивной рекурсии добавляется ещё третий оператор — минимизации аргумента. суперпози́ция фу́нкций — это применение одной функции к результату другой. Тезис Черча:Для любой интуитивно вычислимой функции существует вычисляющая её значения машина Тьюринга.