41. Исчисление предикатов как формальная система. Формальный вывод в исчислении предикатов. Правило переименования свободных переменных. Правило переименования связанных переменных.

Формальная система — это совокупность абстрактных объектов, не связанных с внешним миром, в котором представлены правила оперирования множеством символов в строго синтаксической трактовке без учета смыслового содержания, то есть семантики. Квантор — общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо предиката. Предикатом называется предложение, содержащее одну или несколько переменных, при подстановке в которые конкретных значений, предложение обращается в высказывание. ВЫСКАЗЫВАНИЕ - это повествовательное предложение, о котором можно сказать, что оно истинно или ложно.

Исчисление предикатов — это общее название формальных систем, служащих для формализации логических умозаключений, в которых учитывается как логическая структура суждений (то есть каким образом данное суждение получено из других с помощью логических операций), так и их субъектно-предикатная структура, то есть связь между субъектом суждения (о чем говорится в данном суждении) и предикатом (что говорится о субъекте). При этом для логического анализа суждений наряду с такими логическими операциями, как конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность, отрицание, используются кванторы, а субъектно-предикатная структура уточняется с помощью понятия предиката.

Выводом формулы G в исчислении предикатов называется конечная последовательность формул B₁, . . .,  B_m такая, что каждая из формул B_i либо есть аксиома, либо получается из некоторых предшествующих ей формул по одному из перечисленных правил вывода, и B_m совпадает с G. Формула G выводима в исчислении предикатов, или является теоремой, если можно построить вывод этой формулы.

Правило переименования свободных переменных

Из выводимости формулы F(x), содержащей свободные вхождения x, ни одно из которых не находится в области действия квантора по у, следует выводимость F(y).

1) |– F(x) — по условию

2) F(x) ® (G ® F(x)) — А1, в качестве G выбираем любую доказуемую формулу, не содержащую свободных вхождений x.

3) (G ® F(x)) — из 1 и 2 по МР

4) G ® "x F(x) — правило обобщения к 3

5) "x F(x) — МР к 4 и G

6) F(y) — МР к РА1 и 5 (ч.т.д.)

Правило переименования связанных переменных

"x F(x) |– "y F(y), $x F(x) |– $y F(y) при условии, что F(x) не содержит свободных вхождений y и содержит свободные вхождения x, ни одно из которых не входит в область действия квантора по y.

1) |–"x F(x) — по предположению

2) "x F(x) ® F(y) — аксиома РА1

3) "x F(x) ®"y F(y) (правило обобщения к 2)

4) "y F(y) — МР к 1 и 3

42. Выводимость и истинность в логике предикатов. Эквивалентные преобразования.

Теорема 1. Всякая доказуемая формула исчисления предикатов тождественно-истинна (общезначима)

Теорема 2. Всякая общезначимая предикатная формула доказуема в исчисления предикатов.

Теорема 3. Пусть F(А) — формула, в которой выделено вхождение формулы А; F(В) — формула, полученная из F(А) заменой этого вхождения А формулой В. Тогда если |- А ~ В, то |- F(А) ~ F(В).

Благодаря теореме 3) можно получать доказуемые эквивалентности в исчислении, не строя их непосредственного вывода.

1) если |- А ~ В, то |- А ® С ~ В® С и |- С® А ~ С® В;

2) если |- А ~ В, то |- А Ú С ~ В Ú С и |- СÚ А ~ С Ú В;

3) если |- А ~ В, то |- А & С ~ В & С и |- С & А ~ С & В;

4) если |- А ~ В, то |- Ø А~Ø В;

5) если |- F(x) ~ G(x), то |- "x F(x) ~ "x G(x);

6) если |- F(x) ~ G(x), то |- $x F(x) ~ $x G(x).

43, 44, 45, 46