37. Приведенная нормальная форма. Процедура получения приведенной нормальной формы.

Приведенной формой для формулы логики предикатов называется такая равносильная ей формула, в которой из операций алгебры высказываний имеются только операции Ø, Ù, Ú, причем знаки отрицания относятся лишь к предикатным переменным и к высказываниям.

Теорема 1. Для всякого предиката существует равносильная ему приведенная нормальная форма.

Доказательство. Действительно, все операции в данной предикатной формуле можно выразить через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание (например, в виде ДНФ). Если после этого некоторые отрицания будут относиться к частям формулы, содержащим кванторы, то отрицания можно “снять” с кванторов согласно равносильностям, а “снять” отрицания с конъюнкций и дизъюнкций можно, следуя законам де Моргана. После всех описанных преобразований предикат, очевидно, будет представлен в приведенной форме.

38. Предваренная нормальная форма. Процедура получения предваренной нормальной формы.

Предваренной нормальной формой (ПНФ) для формулы логики предикатов называется такая ее приведенная форма, в которой все кванторы стоят в ее начале, а область действия каждого из них распространяется до конца формулы, т.е. это формула вида (Q₁x₁)(Q₂x₂)…(Q_mx_m)(F(x₁, …, x_n)), где Q_i есть один из кванторов " или $ (i = 1,…,m), m £ n, причем (F(x₁, …, x_n) не содержит кванторов и является приведенной формулой.

1) Используя формулы P₁ ~ P₂ = (P₁ ® P₂) & (P₂ ® P₁), P₁ ® P2 = Ø P₁ Ú P₂

заменить ®, « на &, Ú, Ø.

2) Спустить символы отрицания непосредственно на символы предикатов

3) Для формул, содержащих подформулы вида "xP₁(x) Ú "xP₂(x), $xP₁(x) Ú $xP₂(x),

ввести новые переменные, позволяющие использовать эквивалентные соотношения

4) С помощью эквивалентных соотношений получить формулы в виде ПНФ

39. Проблема разрешимости для общезначимости и выполнимости формул логики предикатов. Теорема Черча. Частные случаи.

Формула А логики предикатов называется выполнимой в области М, если существуют значения переменных, входящих в эту формулу и отнесенных к области М, при которых формула А принимает истинные значения. Формула А называется тождественно истинной в области М, если она принимает истинные значения для всех значений переменных, входящих в эту формулу и отнесенных к этой области. Формула А называется общезначимой, если она тождественно истинная на всякой области.

Не существует алгоритма, позволяющего распознать общезначимость, нейтральность или невыполнимость произвольной формулы исчисления предикатов. Пример формулы, выполнимой на бесконечном множестве и невыполнимой ни на каком конечном множестве("x)($y)(P(x, y)) Ù ("x)(ØP(x, х)) Ù ("x)("y)("z)[(P(x, y) Ù P(y, z)) ® P(x, z)].

40. Методы доказательства в логике предикатов.

Метод интерпретаций или методом моделей — доказательство формул, содержащих переменные, путем непосредственной постановки в них констант.

Множество истинных формул порождается из исходных формул (аксиом) с помощью формальных процедур — правил вывода.

Методы рассуждений, использующие только конечные множества конечных объектов, называют финитными.

Множества, порожденные такими формальными методами, называются формальными системами.

41, 42