30. Свойства формализованного счисления высказываний.

В основе формализованного исчисления высказываний лежат понятия, относящиеся к так называемой области синтаксиса, т.е. понятия, представляющие собой некие абстрактные, лишенные смысла знаки и формальные действия с ними: алфавит, формула, аксиома, правило вывода, доказательство, теорема. Эти понятия принято называть синтаксическими.

В то же время алгебра высказываний, изложенная в пь 1, пронизана содержательным смыслом: за каждой пропозициональной переменной стоит конкретное высказывание нашего языка, каждая формула может превращаться в конкретное составное высказывание, некоторые формулы могут превращаться только в истинные высказывания (тавтологии) и т.д. В данной сфере, являющейся областью семантики, каждое понятие наполнено каким-то внутренним содержанием, смыслом. Понятия истины и лжи, тождественной истинности и тождественной ложности формул, равносильности и логического следования формул считают понятиями семантическими.

Каково же взаимоотношение между формализованным исчислением высказываний и алгеброй высказываний, между синтаксисом и семантикой? Перекинуть мостик от одной области к другой и призвана теорема полноты, о которой пойдет речь в настоящем параграфе. Оказывается, формализованное исчисление высказываний построено так, что всякая его теорема является тавтологией (тождественно истинной формулой) алгебры высказываний, и, обратно, для всякой тавтологии алгебры высказываний можно построить ее вывод из аксиом формализованного исчисления высказываний, т.е. доказать, что она является теоремой исчисления. В этом состоит теорема нолноты. Таким образом, теорема полноты как бы свяжет абстрактную аксиоматическую теорию высказываний и содержательную алгебру высказываний, теорию с практикой, и тем самым продемонстрирует адекватность отражения абстрактной теорией наших практических знаний о высказываниях языка.

Теорема 16.5. Всякая тогкдественно истинная формула (иви тавтология) алгебры высказываний доказуема в формализованном исчислении высказываний.

Теорема 1б.б (о полноте формализованного исчисления высказываний). Формула тогда и только тогда доказуема в формализованном исчислении высказываний (является теоремой исчисления), когда она является тавтологией алгебры высказываний.

Теорема адекватности. Теорема адекватности является обобщением предыдущей теоремы о полноте и вытекает из нее.

Теорема 1б. 7(адекватности). Формула G выводима в формализованном исчислении высказываний из конечного множества гипотез Г тогда и только тогда, когда она является логическим следствием всех формул из этого множества.

Непротиворечивость формализованного исчисления высказываний. Непротиворечивость — важнейшее свойство, которым должна обладать аксиоматическая теория. Противоречивая теория никакой ценности не имеет.

Определение 16.8. Аксиоматическая теория называется непротиворечивой, если ни для какого утверждения А, сформулированного в терминах этой теории, само утверждение А и его отрицание А не могут быть одновременно теоремами данной теории. Если для некоторого утверждения А теории оба утверждения А и не А — теоремы этой теории, то аксиоматическая теория называется противоречивой.

Применительно к формализованному исчислению высказываний непротиворечивость означает, по в нем не существует такой формулы F, что сама формула и ее отрицание F являются теоремами формализованного исчисления высказываний, т.е. выводимы из аксиом. Следующая теорема утверждает, по это действительно так.

Теорема 16.9(о непротиворечивости формализованного исчисления высказываний). Формализованное исчисление высказываний есть непротиворечивая аксиоматическая теория.

Разрешимость формализованного исчисления высказываний. Определение 16.10. Аксиоматическая теория называется разрешимой, если существует алгоритм, позволяющий для любого утверждения, сформулированного в терминах теории, ответить на вопрос, будет или нет это утверждение теоремой данной теории.

Теорема 1б.11 (разрешимости формализованного исчисления высказываний). Формализованное исчисление высказываний есть разрешимая аксиоматическая теория.

31, 32, 33