1, 2

1. Язык логики высказываний. Простые высказывания, сложные высказывания, логические связки. Роль связок в естественном языке.

Логика (формальная, математическая) — наука о законах мышления и его формах, ходе рассуждений и умозаключений.

Современная логика состоит из 2 разделов: логика высказываний и логика предикатов.

Для построения логики существует 2 основных подхода (языка): алгебра логики и логические исчисления.

Логика высказываний (ЛВ, логика суждений, пропозициональная логика) — логическая система, анализирующая процессы рассуждения, опираясь на истинностные характеристики логических связок и абстрагируясь от смысла.

Язык логики высказываний (ЯЛВ) — множество слов в алфавите ЛВ. Выражения, записанные на ЯЛВ, называются формулами.

Логическое высказывание — повествовательное предложение, истинность или ложность которого можно однозначно определить.

Простое высказывание (элементарное) — не включающее других высказываний (и не содержащее логических связок). Составное высказывание — образованное из других высказываний с помощью логических связок.

Логическая связка — логическая операция над высказыванием, служит для составления сложных высказываний.

2. Синтаксис языка логики высказываний: алфавит и правила построения формул. Семантика языка логики высказываний, интерпретация формул.

Синтаксис — раздел семиотики, изуч. структуру языка: способы образования, преобразования, связи м/ду знаками.

Синтаксис языка логики высказываний включает: алфавит, правила построения формул, интерпретацию.

Пропозициональная переменная (ПП) — переменная для обозначения высказываний, ее область значений состоит из 2 истинностных значений: 0 (ложь, false) и 1 (истина, true).

Алфавит логики высказываний включает:

1) Пропозициональные переменные (символы для высказываний) , , , … и слова, составленные из них.

2) Символы логических связок:

• , , «НЕ», «НЕВЕРНО, ЧТО...» — отрицание.

• , , «И», «AND» — конъюнкция.

• , «ИЛИ», «OR» — дизъюнкция.

• , «ЕСЛИ…, ТО…» — импликация.

• , «ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА» — эквивалентность.

• , , «ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ», «XOR» — сложение по модулю 2 (бинарное сложение).

3) Технические знаки () — скобки.

Правила построения формул (ППФ, допустимые в логике высказываний выражения):

1. Всякая пропозициональная переменная ( , , , …) является ППФ.

2. Если и — ППФ, то выражения c ними ( , , , , , ) также являются ППФ.

3. Все другие выражения, помимо предусмотренных п. 1 и 2, не являются ППФ языка логики высказываний.

Семантика языка логики высказываний. Запись выражений естественного языка с помощью логической символики не имела бы смысла, если бы ЯЛВ оставался неинтерпретированным. Интерпретация (искусственного формального языка) — установление точных и однозначных соответствий между ППФ и их значениями.

Интерпретация (модель, оценка) ЯЛВ — функция, которая любому высказыванию ставит в соответствие 1, если оно истинно, 0 — если ложно.

Интерпретация — функция из множества всех ПП в множество истинностных значений : . — множество всех ПП, — функция от множества всех ПП. Если функция конечна, интерпретация может быть определена таблицей её значений. Всегда верное высказывание обозначается , всегда неверное — .

Формула нулевого уровня — элементарное высказывание. Истинностные значения — символы и . Формула первого уровня — элементарное высказывание, к которому применена одна логическая связка. Пусть и — формулы ненулевого уровня. Тогда записи , , , — тоже формулы. Если формула, к которой применяется логическая связка, имеет нулевой уровень, она не заключается в скобки.

3, 4