2.7.Задача минимизаций булевых функций. Теоретические основы ее решения в классе дизъюнктивно-конъюктивных нормальных форм.

Совершенно нормальные формы хотя и дают однозначные представления функции, но являются очень громоздкими. Реализация СНФ программно или схемотехнически является избыточной, что ведет к увеличению программного кода, поэтому существуют методы упрощения логической записи – минимизации. Преобразование логических функций с целью упрощения их аналитического представления называются минимизацией. Общая задача минимизации булевых функций может быть сформулирована следующим образом: найти аналитическое выражение заданной булевой функции в форме, содержащей минимально возможное число букв. Следует отметить, что в общей постановке данная задача пока не решена, однако достаточно хорошо исследована в классе дизъюнктивно-конъюнктивных нормальных форм.

Существуют два направления минимизации:1. Кратчайшая форма записи (цель – минимизировать ранг каждого терма). При этом получаются кратчайшие формы КДНФ, ККНФ, КПНФ.2. Получение минимальной формы записи (цель – получение минимального числа символов для записи всей функции сразу).

При этом следует учесть, что ни один из способов минимизации не универсален!

 

 

 

2.8 Методы минимизации Булевых функций.

Метод Квайна. Минимизируемая функция представляется в СДНФ, и к ней при­меняются все возможные операции неполного склеивания,а затем поглощения, и эта пара этапов применяется многократно. Идея метода Квайна (алгоритм)

 

1. Выписываются все элементарные конъюнкции из СДНФ функции.

2. Проводятся все возможные склеивания между этими ЭК. Полученные новые ЭК

   сохраняются вместе со старыми.

3. Между ними снова проводим все возможные склеивания до тех пор, пока это

   возможно. В результате среди ЭК появятся все простые импликанты функции.

4. Проводим поглощение между всеми получившимися ЭК, то есть оставляем

   только те ЭК, которые не покрываются никакими другими.

5. В результате получаются только простые импликанты. Их дизъюнкция

   является сокращенной ДНФ. Дальше все идет в соответствии с тривиальным

   алгоритмом минимизации..

Метод Карно.. Это двумерная табличная форма представления булевой функции, позволяющая в графической наглядной форме легко отыскать минимальные ДНФ логических функций. Каждой клетке в таблице сопоставляется терм СДНФ ми­нимизируемой функции, причем так, что любым осям симметрии таблицы соот­ветствуют зоны, взаимно инверсные по какой-либо переменной. Такое располо­жение клеток в таблице позволяет легко определить склеивающиеся термы СДНФ (отличающиеся знаком инверсии только одной переменной): они располагаются в таблице симметрично. В таблице (рис. 1.5,6) представлена карта Карно для функции двух переменных — импликации. Все четыре клетки соответствуют всем воз­можным конъюнкциям СД НФ функции 2 переменных. Единичные значения функ­ции показывают те термы, которые присутствуют в СДНФ этой функции. Распо­ложения термов для карты Карно функции 2 переменных (рис. 1.5, а) таково, что соседние клетки соответствуют склеивающимся термам, отличающимся только одной переменной: в один конъюнкт эта переменная входит без отрицания, а в дру­гой — с отрицанием. Карты Карно удобны для минимизации и неполностью определенных функций.

Метод Блейка Порецкого.Сущность минимизации заключается в сведении исходного данного логического выражения к эквивалентному ему логическому выражению такому , в котором меньше по сравнению с исходным выражением число вхождений отдельных букв или операций без существенного изменения смыслового содержания данного выражения.Метод  Блейка-Порецкого применим к любым нормальным формам, не только к совершенным нормальным формам.  В исчислении высказываний известны две нормальных формы: дизъюнктивная и конъюнктивная. Метод  Блейка-Порецкого  исходит из систематического выполнения следующих двух процедур, определяемых равнозначностями:1. [A. x Ъ B. x*] ≡ [Ax Ъ Bx Ъ AB] (это закон полного склеивания, * - знак отрицания, Ъ - дизъюнкция, .   -  это  логическое умножение. )2. [A Ъ A.B]  ≡ A (элементарное поглощение)