9.8. Фильтры других типов. Метод преобразования частоты

Мы подробно рассматривали свойства, схемы и методы расчета фильтров нижних частот, практически не касаясь вопросов расчета других типов фильтров. Это связано с аналогией их свойств. Так, схемы фильтров верхних частот должны обладать частотными свойствами, противоположными свойствам схем ФНЧ. Переход от одного типа фильтра к другому можно осуществить с помощью преобразования частотной переменной jω, которое переводит область нижних частот переменной ω' в область верхних частот ω, и наоборот. При одинаковой частоте среза обоих фильтров, равной ω_c, такое преобразование осуществляется с помощью функции jω = /jω', или ω = –  /ω'. В результате индуктивности исходного фильтра-прототипа L' преобразуются в емкости C = 1/ L' и наоборот, емкости C' переходят в индуктивности L = 1/ L'. Резистивные элементы схемы сохраняются. Такое преобразование прототипа 3-го порядка (рис. 9.7) приводит к схеме ФВЧ, изображенной на рис. 9.16, а. Тем же преобразованием определяют и пересчет частотных характеристик фильтра. Это позволяет все данные, полученные для фильтров-прототипов нижних частот, использовать для анализа фильтров нижних частот. 

Рис. 9.16

Переход от ФНЧ к полосовому фильтру (ПФ) производится с помощью преобразования частоты jω' = jωa + b/jω или ω ' = aω – b/ω. Выбор параметров a и b позволяет обеспечить желаемую полосу пропускания искомого полосового фильтра, ограниченную частотами среза ω_с1 и ω_с2. Например, если частоте среза фильтра-прототипа ω'_с отвечает значение ω_с2, а частоте ω' = 0  — значение ω = ω₀ =  , то для определения постоянных a и b получим уравнения: ω'_с = aω_с2 – b/ω_с2, 0 = aω₀ – b/ω₀, откуда a =ω'_с/(Δω),  b = aω²₀, где Δω = ω_с1 – ω_с2 — ширина полосы пропускания полосового фильтра. Это позволяет записать функцию преобразования в виде ω' = ω'_с(ω- ω'₀ /ω) /(Δω).  Частоте среза ω_с1при этом отвечает отрицательное значение –ω'_с фильтра-прототипа. Веденное частотное преобразование переводит каждую индуктивность фильтра-прототипа L' в последовательно соединенные индуктивность L = L'(ω'_с/Δω) и емкость C = Δω/(ω'_сω_с1ω_с2L'), и соответственно каждую емкость фильтра-прототипа C' — в параллельное соединение емкости C = C'(ω'_с/Δω) и индуктивности L = Δω/(ω'_сω_с1ω_с2C'). С помощью замены переменных ω'→ω существляется и пересчет частотных характеристик. В результате Т-образное звено ФНЧ-прототипа (рис. 9.7) преобразуется в звено 6-го порядка, изображенное на рис. 9.16, б.

Рис. 9.17

Аналогично осуществляется переход от НЧ-прототипа к заграждающему фильтру. Здесь используем преобразование частоты ω' = ω Δω/( – ω²), где Δω = ω_з2 – ω_з1 — ширина полосы задерживания; = ω_з1ω_з2. Так как это преобразование дуально по отношению к преобразованию перехода к полосовому фильтру, то и преобразование элементов прототипа подчиняется принципу дуальности: индуктивности прототипа L' переходят в параллельные колебательные контуры, а емкости — в последовательные LC-контуры. Результат такого преобразования НЧ-прототипа приводит к схеме звена заграждающего фильтра ЗФ рис. 9.16, в.

Переход от НЧ-прототипа активного звена (рис. 9.15) к ФВЧ, осуществляемый взаимной заменой резисторов и конденсаторов, приводит к схеме рис. 9.17, а. Для реализации полосового звена (ПФ) в схеме фильтра-прототипа НЧ должна быть выполнена взаимная перестановка резистора и конденсатора (рис. 9.13.17, б,в).

Активное звено заграждающего фильтра 2-го порядка должно иметь более сложную структуру и соответственно большее число элементов, чем рассмотренные схемы, так как ее передаточная функция в общем виде

содержит в числителе члены, имеющие различный характер частотной зависимости. Одна из распространенных схем звена 2-го порядка заграждающего фильтра ЗФ изображена на рис. 9.17, г. Подбор параметров пассивной части звена позволяет обеспечить необходимый характер его передаточной функции.