9.6. Активные фильтры, их каскадная реализация

Активные RC-фильтры состоят из пассивных элементов R, C и усилителей напряжения, включаемых на выходе отдельных каскадов. Малое выходное сопротивление каскадов, реализуемых с помощью операционных усилителей, позволяет считать их развязанными и пренебречь зависимостью передаточных функций отдельных каскадов от нагрузки. Тогда передаточная функция фильтра в целом определяется как произведение передаточных функций отдельных каскадов-звеньев (рис. 9.14). Каждый из них реализует один сомножитель, на которые разложена передаточная функция фильтра. Обычно отдельные звенья реализуют передаточные функции 2-го или 1-го порядка и содержат соответственное число конденсаторов, один или большее число усилителей, резисторы.

Рис. 9.14

Активный фильтр нижних частот 2-го порядка с характеристикой H² = 1/(1 + ω⁴) реализуется одним звеном 2-го порядка. Для построения фильтра 3-го порядка с характеристикой H² = 1/(1 + ω⁶) разложим передаточную функцию на сомножители: H² = 1/(1 + ω⁶) = [1/(1 + ω²)] × [1/(1 – ω² + ω⁴)]. Отсюда следует, что первый сомножитель реализуется звеном 1-го, а второй — звеном 2-го порядка (рис. 9.14). Задачу реализации фильтра 4-го порядка решают с помощью каскадного включения двух звеньев 2-го порядка. Для этого его передаточную функцию представляют в виде

Описанный способ имеет общий характер, так как любую алгебраическую функцию H²( ω²) можно разложить на сомножители со знаменателями 1-го порядка 1 + a_0kω² и 2-го порядка 1 + a_1kω² + a_2kω⁴.

9.7. Анализ активного звена фильтра нижних частот 2-го порядка

Для реализации передаточной функции 2-го порядка часто используют схему рис..15 (схема Саллена – Кея).

Рис..9.15

Выполним ее расчет методом узловых напряжений. Считая усилитель идеальным, составим уравнения для узлов 3 и 4 схемы. Используем вновь обозначение  для размерной частоты:

Напряжение выражается через входное напряжение усилителя : . Исключая из системы напряжения и , получим

,

откуда передаточная функция звена равна

Квадрат ее модуля имеет структуру

Для определения пяти параметров схемы: G₁, G₂, C₁, C₂ и k имеем лишь три уравнения. Это позволяет наложить дополнительные условия на параметры, например, G₁ = G₂ = 1/R; C₁ = C₂ = C. Тогда выражение передаточной функции примет вид

где τ = RC. Перейдем к безразмерной частоте ω_* = ωτ= ωRC и найдем квадрат модуля полученного выражения

Теперь для обеспечения требуемых значений коэффициентов a₁ и a₂ в выражении передаточной функции звена достаточно определить коэффициент усиления каскада, приравнивая почленно знаменатель квадрата модуля K²( ) соответствующему сомножителю H².

Для звена 2-го порядка с максимально плоской характеристикой H² = 1/(1 + ), в знаменателе которого отсутствует член с , это приводит к равенству k² – 6k + 7 = 0, откуда k = 3 ± 2. Условие устойчивой работы звена, рассматриваемое далее, ограничивает допустимое значение коэффициента усиления значениями k < 3, которому удовлетворяет k = 3 – √2≈0,586.

При каскадной реализации фильтра 3-го порядка звену 2-го порядка отвечает сомножитель H² равный 1/(1 – + ). Это приводит к условию для коэффициента усиления звена k² – 6k + 7 = – 1, из которого k = 3 ± 1. Для устойчивой работы звена необходимо k = 2.

Для двухкаскадного фильтра 4-го порядка с характеристикой H² = 1/(1 + ) определим коэффициенты усиления усилителей каскадов, приравнивая знаменатели сомножителей, отвечающих отдельным каскадам, полученному выражению K²( ); получаем равенства , имеющие устойчивые решения: k₁ = ≈ 2,235 и k₂ = ≈1,152. Параметры пассивных элементов звеньев во всех рассмотренных случаях связаны с частотой среза фильтров ω_с соотношением ω_cRC = 1, поскольку коэффициенты a₂  в выражениях для квадрата модуля H²(ω²_*) равны единице.

Рассмотренные соотношения позволяют получить также характеристики для звена 1-го порядка, которое можно получить из рассмотренной схемы 2-го порядка (рис.9.15), исключая из нее любой из конденсаторов. Так, принимая C₁ = 0, для передаточной функции  звена 1-го порядка получим

где R_{1, 2} = 1/G₁; R₁  + R₂ = R. Параметры звена определяют аналогично путем приравнивания коэффициентов в сомножителях K_U и H².