9.5. Определение параметров пассивного фильтра по требованиям к частотной характеристике

Рассмотрим процедуру выбора параметров пассивного фильтра по заданным значениям Δα и α_min. При неравномерности амплитудно-частотной характеристики в полосе пропускания Δα = 3 дБ имеем έ = 1. Поэтому = 1/(1 + ω²ⁿ), а = 1/[1 + T²_n(ω)]. Степень полинома n определяют по заданному значению минимального ослабления в полосе задерживания α_min. Пусть в полосе задерживания при частотах ω > 2,5 задано требование α_min = 20 дБ, отвечающее ослаблению выходного сигнала фильтра в 10 раз. Степень n — порядок фильтра с максимально плоской характеристикой, обеспечивающей такое ослабление, — найдем из условия 1/(1 + 2,5²ⁿ) ≤0,01, откуда n ≥ 2,51, т. е. требуемая степень ослабления достигается при n = 3. При равноколебательной характеристике фильтра такое же ослабление обеспечивает более простая схема 2-го порядка, поскольку 1/[1 + T₂²(2,5)] = 1/[1 + (2* 2,5² – 1)²]= 0,0075 < 0,01.

Для определения параметров выбранной схемы фильтра записывают выражение передаточной функции K(jω) рассматриваемой схемы и находят квадрат ее модуля K²(ω²). Приравнивание соответствующих коэффициентов знаменателей передаточной и аппроксимирующей функций K² и H² при одинаковых степенях ω² дает систему алгебраических уравнений, из которой находят параметры элементов схемы фильтра.

Проиллюстрируем этот этап на примере схемы фильтра 3-го порядка, включающей две катушки и конденсатор (рис. 9.7). Выберем ее параметры из условия реализации максимально плоской характеристики. 

Сначала получим выражение для передаточной функции через параметры цепи. При нагрузке фильтра на сопротивление Z_н = R для напряжений на участках цепи имеем , а . Поэтому токи в ветвях равны: , а . Напряжение на выходе фильтра определим как сумму Подставляя в это выражение ранее найденные значения İ₁ и  , получим для передаточной функции фильтра:

или после приведения подобных членов

.

Квадрат модуля полученной функции запишем в виде

Это выражение приравниваем к квадрату модуля аппроксимирующей функции максимально плоского фильтра 3-го порядка, который при переходе к размерной частоте ω= ω_{* }ω_c принимает вид

.

Равенство коэффициентов при соответствующих степенях ω позволяет получить систему трех уравнений для определения трех параметров схемы фильтра L₁, L₂ и C   

                                                                    

Подстановка членов во второе уравнение (показаны стрелками) позволяет найти значение ω_c(L₁ + L₂)/R = 2. Далее из последнего уравнения определяем   L₁C = 2/ω_c². После подстановки этого значения в первое уравнение получим: ω_cL₂ = R/2. Далее легко определим все остальные параметры из последних равенств: ω_cL₁ = 3R/2;  1/(ω_cC) = 3R/4.

Очевидно, подобная процедура определения параметров пассивных фильтров высокого порядка весьма громоздка. Однако эти вычисления имеют стандартный характер и выполнены практически для всех разновидностей характеристик и схем фильтров различного порядка. Их результаты, приводимые в форме таблиц в справочной литературе по расчету фильтров, позволяют по заданным требованиям к неравномерности характеристик Δα в полосе пропускания и затуханиюα_min в полосе задерживания определить параметры выбранной схемы.

Задача определения параметров упрощается для активных фильтров с каскадной структурой, в которых передаточные функции отдельных каскадов не влияют друг на друга и нет необходимости рассматривать всю многозвенную структуру фильтра как единое целое.