8.10. Уравнения и свойства многополюсников

При описании электрической цепи ее зачастую представляют как совокупность фрагментов более общего вида (чем четырех- и двухполюсники), имеющих произвольное число внешних зажимов (полюсов), через которые такой фрагмент — многополюсник — соединяется с другими участками цепи (рис. 8.14).

Рис. 8.14

Описание многополюсника как элемента цепи выражает связи между токами полюсов İk и напряжениями входных узлов Uk относительно опорного узла цепи 0. В общем виде такая связь для линейного многополюсника может быть выражена в матричной форме: İ = YU,

где , — векторы токов и напряжений полюсов;

— неопределенная матрица проводимостей многополюсника — квадратная матрица размера п.

Матрица Y называется неопределенной, поскольку ее элементы Y_jk не являются независимыми друг от друга, так как токи полюсов, образующих сечение цепи, связаны друг с другом первым законом Кирхгофа и, следовательно, отдельные уравнения системы являются линейно зависимыми. Поэтому неопределенная матрица проводимостей многополюсника является вырожденной — ее определитель равен нулю.

Например, описание двухполюсника с помощью неопределенной матрицы проводимостей Y (рис. 8.15) выражается двумя уравнениями:

или в матричной форме

Рис. 8.15

Отсюда видно, что всю существенную информацию о двухполюснике несет лишь один выделенный элемент неопределенной матрицы Y11 = Y. Недиагональные элементы неопределенной матрицы проводимостей пассивного многополюсника Ymk с одинаковыми индексами на основании принципа взаимности равны друг другу: Ymk = Ykm.

Для трехполюсных элементов цепи — трехполюсников (рис. 8.16), к которым относятся, например, транзисторы, система уравнений для токов имеет вид:

Рис. 8.16

По первому закону Кирхгофа в этом случае имеем

 

Так как это равенство выполняется при любых значениях   то суммы проводимостей Y_km в каждой скобке должны быть равны нулю. Поэтому сумма элементов каждого столбца неопределенной матрицы проводимостей любого многополюсника — это справедливо не только для трехполюсника — равна нулю.

С другой стороны, если все входы многополюсника находятся под одинаковым потенциалом то токи через все выходные зажимы не протекают —  İ_k = 0. Поэтому и сумма элементов каждой строки неопределенной матрицы проводимостей многополюсника равна нулю.

Эти свойства позволяют записать неопределенную матрицу проводимостей трехполюсника в форме:

Таким образом, вся существенная информация о трехполюснике содержится лишь в выделенной клетке матрицы с элементами Y₁₁, Y₁₂, Y₂₁, Y₂₂. Эта клетка соответствует описанию трехполюсника как четырехполюсника, у которого зажим 3 является общим для входной и выходной пар полюсов. Такие четырехполюсники с общим зажимом являются весьма распространенными, и, следовательно, вся рассмотренная выше теория четырехполюсников распространяется и на трехполюсники с общим зажимом для входной и выходной цепей.

При анализе цепей с транзисторами часто бывает необходимо выразить параметры схемы с одним общим зажимом через параметры той же схемы с другим общим зажимом. Это осуществляют с помощью неопределенной матрицы проводимостей. Для записи матрицы проводимостей четырехполюсника с k-м общим зажимом входной и выходной цепей из неопределенной матрицы проводимостей трехполюсника Y₃ следует просто вычеркнуть k-ю строку и k-й столбец. Так, при общем зажиме 2 матрица проводимостей четырехполюсника с входными 12 и выходными 32 зажимами имеет вид:

где Y₁₁, Y₁₂, Y₂₁ и Y₂₂ — элементы матрицы четырехполюсника с общим зажимом 3, входными 13 и выходными 23    зажимами.