3.2. Изображение синусоидально изменяющихся величин
на комплексной плоскости
Из курса математики известна формула Эйлера
(3.1)
Комплексное
число
изображают
на комплексной плоскости вектором,
численно равным 1 и составляющим угол
с
осью вещественных чисел. Умножим левую
и правую части выражения (3.1) на
(3.2)
Угол
в
(3.1) может быть любым. Положим, что
т.
е. угол
изменяется пропорционально времени, тогда (3.2) можно переписать
где
Таким образом, синусоидально изменяющийся ток можно представить в виде
(3.3)
т.
е. как проекцию
на
ось мнимых чисел.
49
Комплексное
число
можно
представить
(3.4)
где
- комплексная
амплитуда; модуль ее равен
а
угол,
под
которым вектор
проведен
к оси вещественных чисел, равен на-
чальной фазе .
Комплексная амплитуда синусоидального электрического тока – комплексная величина, модуль и аргумент которой равны соответственно амплитуде и начальной фазе данного синусоидального электрического тока (ГОСТ Р52002-2003).
Комплексная амплитуда изображает соответствующую величину: ток, напряжение, ЭДС на комплексной плоскости для момента
времени
Перепишем (3.3)
Заменим
равенство и знак мнимой части (Jm) на знак
соответствия
,
тогда
а
учитывая (3.4), последнее выражение можно
записать
Пример 1. Переход от мгновенного значения к комплексной амплитуде.
Пусть i = 10sin (t +45 °) A, где Im = 10 A, = 45 °,
тогда
Пример 2. Переход от комплексной амплитуды к мгновенному значению.
Пусть
тогда
3.3. Выражение для производной
Пусть имеем i = Im sin(t +). Найдем выражение для производной
где
(3.5)
следовательно, соответствие (3.5) можно переписать как
Операция
дифференцирования синусоидально
изменяющейся величины заменяется на
операцию умножения комплексной амплитуды
на множитель j.
3.4. Выражение для интеграла
Пусть имеем i = Im sin(t +). Найдем выражение для интеграла
где
(3.6)
Следовательно, соответствие (3.6) можно переписать
Операция
интегрирования синусоидально изменяющейся
величины заменяется на операцию деления
комплексной амплитуды на множитель j.
3.5. Алгебраизация уравнений
Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для цепи с последовательно соединенными участками активного, индуктивного и емкостного характера, к зажимам которого приложено синусоидальное напряжение (рис. 3.3)
Рис. 3.3
.
(3.7)
Пусть
емкость С
предварительно
не заряжена, т. е.
Уравнение (3.7) в комплексной форме будет иметь вид
Вынесем
за
скобки, сократим на множитель
обе
части уравнения, получим
(3.8)
Таким образом, дифференциальное уравнение (3.7), записанное для мгновенных значений, преобразуется в алгебраическое уравнение (3.8) для комплексных амплитуд. Аналогичное уравнение можно записать для комплексных действующих и значений
и
для комплексных средних значений
3.6. Закон Ома для цепи синусоидального тока.
Комплексное сопротивление
Множитель
в
уравнении (3.8) представляет
собой комплекс, имеющий размерность сопротивления – комплексное сопротивление
где
R
–
активное, Х
– реактивное
сопротивления; Z
–
модуль полного сопротивления
,
а –
угол
сдвига фаз,
Комплексное электрическое сопротивление – комплексная величина, равная отношению комплексного действующего значения синусоидального электрического напряжения на выводах пассивной электрической цепи или ее элемента к комплексному действующему значению синусоидального электрического тока в этой цепи или в этом элементе (ГОСТ Р52002-2003).
Уравнение (3.8) можно переписать
,
(3.9)
или, переходя к комплексам действующих значений,
(3.10)
Выражения (3.9) и (3.10) представляют собой закон Ома для синусоидального тока, соответственно для амплитудных и действующих значений. Обобщенный закон Ома для цепи синусоидального тока для действующих значений может быть записан
Правило выбора знаков аналогично, как и для случая постоянного тока.