4. Логіка арифметичних операцій над двійковими числами

В даному питані розглядаються чотири арифметичні операції в двійковій системі числення додавання, віднімання, множення і ділення).

Додавання. При додаванні двійкових чисел необхідно користу­ватись такими правилами

а)0 + 0 = 0; 6)0 + 1 = 1; в) 1+0 = 1; г) 1 + 1 = 10. (1.2)

Двозначна сума додавання в 1.2г означає, що при додаванні двійкових цифр, які дорівнюють 1, виникає перенос 1 до сусіднього старшого розряду. Цей перенос повинен бути добавлений до суми цифр, які утворюються в сусідньому розряді зліва.

Приклад1.12. Виконати додавання двох двійкових чисел А = 1101101 та В = 1001111.

У відповідності з 1.2, виконуємо порозрядне до­давання двійкових чисел А і В

1101101 — А

1001111 — В

0100010 — порозрядна сума без урахування переносів

+1 111 — переноси

10111100 — А+В

Безпосередньо під двома доданками записаний результат порозрядного додавання без урахування переносів. У тих розрядах, в яких обидва доданки дорівнюють 1, порозрядна сума дорівнює 0, і в цих розрядах утворилося перенесення в сусідній старший розряд, який відмічений у стрічці 1. У результаті додавання стрічки порозрядних сум із стрічкою переносів отримаємо кінцеву суму.

Віднімання. При відніманні двійкових чисел необхідно корис­туватись такими правилами:

а) 0 - 0 = 0; 6)1 - 0 = 1; в) 1 - 1 = 0; г) 10 - 1 = 1. (1.3)

Якщо при порозрядному відніманні необхідно відняти із нуля одиницю, то береться позичка в сусідньому розряді, тобто одиниця старшого розряду має вигляд двох одиниць даного розряду. Відні­мання в цьому випадку виконується у відповідності з 1.3г. Якщо в сусідньому старшому розряді або декількох старших розрядах мі­стяться нулі, то позичка береться у найближчому старшому розряді з одиниці. Ця одиниця у відповідності з 1.3 має вигляд суми чис­ла, яке складається із одиниць у всіх проміжних розрядах, в яких містились нулі, і двох одиниць у даному розряді. Віднімання у да­ному розряді виконується у відповідності з 1.3г, а у всіх проміж­них розрядах — згідно із 1.3б і 1.3в.

Приклад1.13. Виконати віднімання двох двійкових чисел А = 11000011 і В = 10100110.

У відповідності з 1.3 виконаємо порозрядне від­німання двійкових чисел А і В

- 11000011 — А

10100110 — В

00011101 — А-В

У двох молодших розрядах не було необхідності робити позич­ку. Для третього розряду вона зроблена із сьомого розряду (най­ближча одиниця). В проміжних розрядах віднімання відбувається із одиниці.

Множення. Множення двох двійкових чисел виконується так само, як і множення двох десяткових. Тобто, множене послідовно множиться на кожну цифру множника, розпочинаючи з молодшої або із старшої. Для врахування ваги відповідної цифри множника результат рухається або вліво, якщо множення відбувається, почи­наючи з молодшого розряду множника, або вправо, якщо множен­ня відбувається, починаючи із старшого розряду множника. При цьому рух відбувається на таке число розрядів, на яке відповідний розряд множника зсунутий відносно молодшого або старшого його розряду. Отримані в результаті множення і. зсуву часткові добутки після додавання дають повний результат множення.

Приклад1.13.Виконати множення двох двійкових чисел А₁ = 10101 А₂ = 1011 зсувом вліво і вправо.

У відповідності з викладеними вище правилами множення, воно матиме такий вигляд для зсуву:

Якщо множене, або множник, або разом вони мають цілу і дро­бову частини, то множення таких чисел відбувається як множення цілих чисел, без урахування ком, а потім від отриманого добутку справа відділяється комою (т + п) від розрядів, де т — кількість дробових розрядів множеного, п — кількість дробових розрядів множника.

Ділення. Ділення двох двійкових чисел відбувається аналогіч­но діленню двох десяткових. Спочатку розглянемо ділення цілого діленого на цілий дільник. Ділення розпочинається з того, що від цілого діленого зліва відділяється мінімально можлива група роз­рядів, яка дорівнює або перевищує численно дільник на один роз­ряд. Якщо виділення такої групи можливо, то в старший розряд ча­стки записують 1, якщо ні, то — 0.

Якщо виявилось, що частка має цілу частину, то утворюється нова група шляхом віднімання із виділеної групи дільника і припи­сування до різниці чергової цифри діленого. Якщо при цьому отримали число, яке перевищує дільник, то до частки записують наступну цифру, рівну 1, а якщо ні, то — 0.

У подальшому виконують ряд однакових циклів. Якщо остання цифра частки дорівнювала 1, то нова група утворюється шляхом віднімання дільника із старої групи і дописування наступної цифри діленого. Якщо в результаті отримали число, яке перевищує діль­ник, то до частки записують наступну цифру, яка дорівнює 1, а як­що ні, то — 0.

Якщо остання цифра частки дорівнює 1, то нова група утворю­ється шляхом віднімання дільника із старої групи і приписування наступної цифри діленого. Але якщо остання цифра частки дорів­нює 0, то для утворення нової групи достатньо приписати до старої групи наступну цифру діленого.

Останню цифру цілої частини частки отримаємо тоді, коли піс­ля визначення чергової цифри частки (1 або 0) в діленому не залишилося більше цифр для того, щоб приписувати їх до різниці між старою групою і дільником або до самої старої групи. Після цього розпочинається обчислення дробових членів частки. Воно відрізня­ється від обчислення цілих членів тільки тим, що замість чергових цифр дільника до старих груп приписують нулі.

Приклад1.13.Виконати ділення двох двійкових чисел А =110111 В= 10010 при умові, що в одному випадку діленим є А, а дільником В, а в іншому — навпаки

Контрольні запитання

1. Які системи числення застосовують у комп'ютерах?

2. Яку систему числення називають двійковою, вісімковою, шістнадцятковою?

3. Як переводять цілі і дробові числа із десяткової системи числення у двійкову і навпаки?

4. Як переводять цілі і дробові числа з десяткової системи числення у вісімкову і навпаки?

5. Як переводять цілі і дробові числа з десяткової системи числення у шістнадцяткову і навпаки?

6. Чим відрізняються між собою двійкова, вісімкова і шістнадцяткова системи числення і в яких частинах комп'ютера вони застосовуються?

7. Які арифметичні операції можна виконувати у двійковій системі числення?

8