9.2 Определение касательных напряжений

9.2.1. Основные допущения.

Касательные напряжения возникают в обшивке и стенках лонжеронов от действия поперечной силы и крутящего момента.

При определении касательных напряжений  исходят из обще­принятых допущений теории тонкостенных стержней и оболочек:

- напряже­ния  по толщине обшивки не изменяются;

- погонные касательные усилия q =  в любой точке сечения на­правлены по касательной к средней линии сечения кон­тура (рис. 9.7).

Рис. 9.7. Касательные напряжения, возникающие в сечении крыла

Кроме то­го, считают, что попереч­ные сечения крыла при кручении могут свободно депланировать, т. е. иска­жаться в направлении дли­ны оболочки.

Сначала будем считать, что крыло цилиндрическое. Влияние ко­нусности крыла на величины касательных усилий учтем отдельно. Расчет проведем, не отделяя изгиб от кручения, заменив попереч­ную силу Q и момент М_z относительно оси z эквивалентной им си­лой Q, приложенной в точке, находящейся на расстоянии от точки О' (см. рис. 9.7), которая принадлежит оси крыла.

9.2.2. Касательные усилия в замкнутом контуре

Касательные усилия q в замкнутом контуре (рис. 9.8, а) от действия силы Q могут быть определены по формуле

, (9.3)

где - погонные касательные усилия при изгибе, найденные в предположении, что в некоторой точке п контур разомкнут (рис. 9.8, б);

- статический момент редуцированной площади сечения относительно центральной оси, отсчи­тываемый от точки п;

f_i - площадь элемента, работающего на нормальные напряжения;

q₀ - постоянный поток погонных касательных усилий (рис. 9.8, в), обеспечивающий равновесие всех сил, действующих в сечении.

рис. 9.8. Потоки погонных касательных усилий q в замкнутом контуре

Сумма моментов сил, действующих в сечении, относительно произвольного полюса О' должна быть равна нулю:

откуда

(9.4)

Здесь а - расстояние от линии действия силы Q до полюса О';

ρ - расстояние от полюса до касательной к элементу длины ds контура;

ω=2F = - удвоенная площадь, ограниченная контуром.

В случае многозамкнутого контура расчет основной системы от внешней нагрузки проводят подобным образом. При этом стати­ческую неопределимость системы раскрывают, используя известные методы строительной механики, например метод сил.

9.2.3. Приближенные методы определения касательных напряжений

При приближенном методе расчета пренебрегают работой обшивки на сдвиг от поперечной силы q, полагая, что эта сила воспринимается только стенками лонжеронов. Такое до­пущение не ведет к большой погрешности, поскольку обшивка вос­принимает не более 5…10% поперечной силы крыла.

Порядок определения касательных усилий q рассмотрим на при­мере расчета двухконтурного сечения крыла (рис. 9.9). Если контуров три и более, метод расчета остается таким же, несколько усложняются лишь выкладки.

Распределение поперечной силы между стенками лонжеронов

Распределение поперечной силы крыла Q между стенками лонжеронов проводят пропорционально их жесткостям при изгибе:

(9.4)

Это соотношение получается из условия равенства прогибов лонже­ронов, нагруженных соответственно силами Q₁ и Q₂

Так как

q₁ + q₂ = q, (9.5)

то

. (9.6)

Здесь Q_i - поперечная сила i-го лонжерона;

(Еj)_i - жесткость при изгибе i -го лонжерона.

Формулу (9.6) можно получить и непосредственно из выраже­ния (9.3).

Крутящий момент в сечении

Крутящий момент М_к в сечении подсчитывают как момент внешней нагрузки, действующей в сечении, относительно центра жесткости. В рассматриваемом случае (рис. 9.9, а) центр жесткости (ц.ж.) лежит на линии действия равнодействующей сил Q₁ и Q₂.

Рис. 9.9 Определение положения центра жесткости крыла (а) и величин крутящих моментов в различных контурах сечения (б)

Координата центра жесткости определяется по формуле

(9.7)

Таким образом, крутящий момент в сечении крыла равен

М_к = Qd, (9.8)

где d - расстояние от линии действия силы Q до центра жесткости сечения.

Крутящий момент в сечении можно определить также как сумму моментов всех внешних и внутренних сил, действующих в сечении, относительно произвольной точки.

Например, приняв за полюс точку О (рис. 11.3, а), найдем

М_К = Q₂ [В - (х_ц.ж - d)] - Q₁(х_ц.ж - d). (9.9)

На рис. 9.9, а показан момент М_К, уравновешивающий крутя­щий момент Qd.