Случайные величины. Функция распределения и плотность распределения случайной величины

Величина называется случайной, если в результате испытания она принимает одно заранее неизвестное значение из некоторого числового множества. Случайная величина называется дискретной, если она принимает значения из некоторого фиксированного конечного или счетного множества.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между ее возможными значениями и их вероятностями.

Закон распределения задается аналитически, графически и таблично.

Например, если дискретная случайная величина X принимает значения x₁, x₂, . . ., x_n с вероятностями соответственно p₁, p₂,. . ., p_n соответственно, то в результате испытания произойдет одно из единственно возможных и попарно несовместных событий X=x₁, X=x₂, . . ., X=x_n. Такие события образуют полную группу событий и, следовательно, p₁₊ p₂₊. . .+p_n=1.

Функцией распределения случайной величины X называют функцию F(х), определяющую вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значение меньшее х, т.е. F(x) = P(X< x).

Функцию распределения называют также интегральной функцией.

Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна. Обычно рассматривают непрерывные случайные величины, для которых функция распределения непрерывно дифференцируема.

Свойства интегральной функции распределения.

1. Значения функции распределения F(x) принадлежит отрезку [0;1]: 0£ F(x) £1.

2. F(x) - неубывающая функция, т.е. F(x₂) ³ F(x₁) , если х₂ > х₁.

3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, в), то F(x)=0 при х£а , F(x)=1 при х³b.

4. Вероятность того, что случайная величина X примет значение, принадлежащее промежутку [а,b), равна приращению функции распределения на этом промежутке:

Р(а£х<b) = F(b)- F(a) .

Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определенное значение, равна 0.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины (НCВ) называют первую производную f(х) от функции распределения F(x):

Вероятность того, что НСВ Х примет значение, принадлежащее интервалу (а, b), равна:

Если известна функция плотности распределения f(х), то функция распределения F(x) находится по формуле:

Свойства плотности распределения.

1. f(х) является неотрицательной функцией: f(x)³0;

2. .

Математическое ожидание случайной величины. Дисперсия случайной величины

Математическим ожиданием дискретной случайной величины X (ДСВ) называют сумму произведений всех её возможных значений на их ве­роятности: для дискретной случайной величины X, принимаюшей значения x₁, x₂, . . .,x_n с вероятностями соответственно p₁ , p₂,. . ., p_n соответственно, имеем:

Пусть значения HСB X принадлежат отрезку [а, b]. Математическим ожиданием НCВ X называется величина:

.

Отклонением называют разность x-MX между случайной величиной и её математическим ожиданием.

Дисперсией (рассеянием) DX дискретной случайной величиной X называется величина:

Дисперсией DX непрерывной случайной величины X называется величина:

Если возможные значения НСВ X принадлежат всей числовой оси, то пределы интегрирования берутся от -¥ до ¥.

Средним квадратическим отклонением называют корень квадратный из дисперсии: