Вероятность события. Частота события

Количественной мерой возможности появления события является вероятность. Наиболее широкое распростране­ние имеют два определения вероятности события: класси­ческое и статистическое.

Классическое определение вероятности события связано с понятием благоприятствующего исхода. Исход называется благоприятствующим данному со­бытию, если появление его влечет за собой появление этого события. Пусть в результате некоторых испытаний наблюдаемые исходы попарно несовместны и равновозможные. За вероятность собы­тия A принимается отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу равно­возможных исходов:

,

где m — число исходов, благоприятствующих событию А, n — общее число возможных, исходов. Из определения следует, что 0£ Р(А) £ 1.

Статистическое определение вероятности связано с понятием частоты события. Частота события A вычисляется по формуле:

,

где m — число случаев появления события А в серии из n испытаний. Из определения следует, что 0£ Р^*(А) £ 1.

С увеличением числа испытаний частота Р^*(А) во мно­гих случаях стабилизируется около некоторой постоянной величины.

При статистическом определении вероятности за веро­ятность события А принимают то число, относительно которого стремится стабилизироваться частота Р^*(А) при увеличении числа испытаний.

Основные теоремы теории вероятностей

1. Теорема сложения.

Вероятность суммы двуx несовместных событий:

P(A + В) = P(A) + P(B)

Вероятность суммы двуx совместных событий:

P(A + В) = P(A) + P(B) - P(AB).

Пусть А и - противоположные события, тогда:

P(A) + Р( ) = 1.

2. Теорема умножения вероятностей.

Событие В называется независимым от А, если появление события А не изменяет вероятности наступления события В.

Условной вероятностью P(B/A) (обозначают также Р_А(В) )называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже произошло.

По определению:

Вероятность совместного появления двух событий равна:

Р(АВ) = P(A)Р(В/A).

Для независимых событий A₁, A₂,…, A_n:

P(A₁A₂...A_n) = P(A_l)P(A₂)...P(A_n).

Вероятность появления хотя бы одного из событий A₁, A₂,××, A_n, независимых в совокупности, равна:

P(A)= 1- q₁×q₂ ...q_n,

где q₁, q₂ ...q_n — вероятности появления каждого из событий A₁,A₂,××,A_n соответственно.

3. Формула полной вероятности.

Говорят, что события H₁, H₂, ... , H_n образуют полную группу событий, если они несовместны и при испытании обязательно наступает одно из них. Пусть H₁, H₂, ... , H_n - полная группа событий. События Н_i называют гипотезами и . Пусть в результате испытания произошло событие A. Тогда:

Эта формула носит название формулы полной вероятности.

4. Формула Байеса.

Пусть в результате испытания событие А произошло и H₁, H₂, ... , H_n - полная группа событий. При таком условии вероятности гипотез можно подсчитать по формуле:

которая носит название формулы Байеса.