Тема 6 Определенный интеграл
Задача 1. Вычислить, площадь фигуры, ограниченной линиями у=х2+4x, у=х+4 (рис. 1).
Решение.
Площадь
S
фигуры,
ограниченной
сверху
н
снизу
непрерывными
линиями
у=f(х)
и
у=
(х),
пересекающимися
в
точках
с абсциссами
x=а и
х=b,
определяется
по формуле
(1)
Рис. 1
Для нахождения точек пересечения данных линий решаем систему уравнений
y=
х2+4х,
у = х+4.
х2+4х=х+4, х2+3х-4=0, откуда x1=- 4, х2=1.
Применяя формулу (1), получим:
(кв.ед.)
Вопросы для самопроверки
1. Назовите задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
2. Напишите интегральную сумму для функции у=f(х) на отрезке [а; b]
3. Что называется определенным интегралом от функциями y=f(х) на отрезке [а; b]?
4. Каков геометрический смысл определенного интеграла?
5. Перечислите основные свойства определенного интеграла.
6. Чему равна производная от определенного интеграла с переменным верхним пределом интегрирования?
7. Напишите формулу Ньютона — Лейбница.
8. Напишите формулу интегрирования по частям в определенном интеграле.
9. Как вычислить объем тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси Ох? оси Оу?
10. Дайте определение несобственного интеграла с бесконечными пределами интегрирования.
11. Сформулируйте понятие несобственного интеграла от разрывной функции.
Вот наши экономисты Задания для контрольной работы Задание 1
В задачах 1 – 20 найти указанные пределы.
1.
а)
б)
в)
г)
.
2.
а)
б)
в)
г)
3.
а)
б)
в)
г)
4.
а)
б)
в)
г)
5.
а)
б)
в)
г)
6.
а)
б)
в)
г)
.
7.
а)
б)
в)
г)
8.
а)
б)
в)
г)
9.
a)
б)
в)
г)
10.
а)
б)
в)
г)
11.
а)
б)
в)
г)
12.
а)
б)
в)
г)
13.
а)
б)
в)
г)
14.
а)
б)
в)
г)
15.
а)
б)
в)
г)
16.
а)
б)
в)
г)
17.
а)
б)
в)
;
г)
18.
а)
б)
в)
г)
19.
а)
б)
в)
г)
20.
а)
б)
в)
г)
Задание 2
В задачах 1 – 20 найти производные заданных функций:
1.
а)
б)
в)
.
2.
а)
б)
в)
.
3.
а)
б)
в)
4.
а)
б)
в)
.
5.
а)
б)
в)
6.
а)
б)
в)
.
7.
а)
б)
в)
8.
а)
б)
в)
9.
а)
б)
в)
10.
а)
б)
в)
11.
а)
б)
в)
12.
а)
б)
в)
.
13.
а)
б)
в)
14.
а)
б)
в)
15.
а)
б)
в)
16.
а)
б)
в)
17.
а)
б)
в)
18.
а)
б)
в)
19.
а)
б)
в)
20.
а)
б)
в)
Задание 3
В задачах 1-20 исследовать функции методами дифференциального исчисления и построить их графики. Исследование функции рекомендуется проверить по следующей схеме: 1) найти область определения функции; 2) исследовать функцию на непрерывность; 3) определить, является ли данная функция четной, нечетной; 4) найти интервалы возрастания и убывания функции и ее точки экстремума; 5) найдите интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба; 6) найти асимптоты графика функции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Задание 4
Данную функцию z=f(x, y) исследовать на экстремум.
z=
.z=
.z=
.z=
z=
.z=
.z=
.z=
.z=
.z=
.z=
.z=
.z=
.z=
.z=
.z=
.z=
.z=
z=
.z=
.
Задание 5
В задачах 1 – 20 найти указанные неопределенные интегралы и результаты интегрирования проверить дифференцированием.
1.
а)
б)
в)
2.
а)
б)
в)
3.
а)
б)
в)
4.
а)
б)
в)
5.
а)
б)
;
в)
6.
а)
б)
в)
.
7.
а)
б)
в)
8.
а)
б)
в)
9.
а)
б)
в)
10.
а)
б)
в)
11.
а)
б)
в)
12.а)
б)
в)
13.
а)
б)
в)
14.
а)
б)
в)
15.
а)
б)
в)
16.
а)
б)
в)
17.
а)
б)
в)
18.
а)
б)
в)
19.
а)
б)
в)
20.
а)
б)
в)
Задание 6
В задачах 1 – 10 вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж.
1.
у = х3;
у =
2. у =
у = 6 – х .
3.
у =
у = 4 – х . 4. у = х2+2;
у = 4 – х2.
5. у = - х2+1; у = х – 1. 6. у = x2 – 4x+4; y=x.
7.
y
=
y
= 4x.
8. y
=
y
= 7 – x.
9. y = 3x2+1; y = 3x+7. 10. y = 2x – x2; y = - x.
В задачах 11 – 15 вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж.
11. y2 = x; y = x2. 12. xy = 4; x = 1; x = 4; y = 0.
13.y = sin x (одна полуволна); y = 0. 14. y = x2+1; y = 3x – 1.
15.
В задачах 16 – 20 вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж.
16.
y2
=4 – x
; x=0.
17.
18. x + y – 2 =0; x=0; y=0. 19. xy =2; x=0; y=1; y=4.
20. y =-x2+4; x=0; y=0; y=3.