Тема 2 Производная и дифференциал

Разберите решение задачи 3 данного пособия.

Задача 3. Найдите производные функции:

а) , б) , в)

Pешение: а). Последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, правила и формулы дифференцирования, имеем:

б) у^/ = [(3 +1)⁴]^/ =4(3 +1) =

4(3 =4(3 =

в). В данном случае функциональная зависимость задана в неявном виде. Для нахождения производной у' нужно продифференцировать по переменной х обе части уравнения, считая при этом у функцией от х, а затем полученное уравнение разрешить относительно у'.

-sin(ху²)(ху²) ' – 6уу'+4 = 0, -sin (ху²);(у²+2хуу') – 6уу'+4 = 0,

-у² sin (ху²) – 2хуу' sin (ху²)'- 6уу'+4 = 0,

Из последнего уравнения находим у':

2уу' [х sin(ху²) +3] =4 – у²sin(ху²),

Вопросы для самопроверки

1. Что называется производной функции?

2. Каков геометрический, физический смысл производной?

3. Как взаимосвязаны непрерывность функции и ее дифференцируемость в точке?

4. Напишите основные правила дифференцирования функций.

5. Напишите формулы дифференцирования основных элементарных функций.

6. Сформулируйте правило дифференцирования сложной функции

7. Что называется дифференциалом функции?

8. Каков геометрический смысл дифференциала функции.

9. Перечислите основные свойства дифференциала функции.

10. Напишите формулу, позволяющую находить приближенное значение функции при помощи ее дифференциала.

11.Как найти производную второго, третьего, n-го порядков?

12. Как найти дифференциал второго порядка от данной функции?

Tема 3 Приложения производной

Задача 4. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение: Исследование функции проведем по следующей схеме:

1. Найдем область определения функции.

2. Исследуем функции на непрерывность.

3. Установим, является ли данная функция четной, нечетной.

4.Найдем интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума.

5. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба.

6. Найдем асимптоты кривой.

Реализуем указанную схему:

1. Функция определена при всех значениях аргумента х, кроме х=1.

2. Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения, т. Е. на интервалах ( ; 1) и (1; ). В точке х=1 функция терпит разрыв второго рода.

3. Для установления четности или нечетности функции проверим выполнимость равенств f(-х) =f(x) (тогда f(x)— четная функция) или f(-х) =-f(х) (для нечетной функции) для любых х и – х из области определения функции:

Следовательно, f( - х) f(x) и f( - x) - f(x), то есть данная функция, не является ни четной, ни нечетной.

4. Для исследования функции на экстремум найдем её первую производную:

у'=0 при х=0 и у' не существует при х=1. Тем самым имеем две критические точки: х₁=0, х₂=1. Но точка х₂=1 не принадлежит области определения функции, экстремума в ней быть не может Разобьем числовую ось на три интервала (рис. 2),-( ; 0), (0; 1),(1; ). В первом и третьем интервалах первая производная отрицательна, следовательно, здесь функция убывает; во втором интервале — положительна и данная функция возрастает. При переходе через точку х=0 первая производная меняет свой знак с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция имеет минимум: y_min=y(0)=-1. Значит, А(0; — 1) — точка минимума.

Рис.2

На рис. 2 знаками +, - указаны интервалы знакопостоянства производной y', а стрелками - возрастание и убывание исследуемой функции.

5. Для определения точек перегиба графика функции, интервалов выпуклости и вогнутости кривой найдем вторую производную:

y''=0 при х= и у'' не существует при х= l. Разобьем числовую ось на три интервала (рис. 6); ( ; ), ( ; 1), (1; ). На первом интервале вторая производная у'' отрицательна и дуга исследуемой кривой выпукла; на вто-ром и третьем интервалах у''>0, тем самым график является вогнутым. При переходе через точку х= у'' меняет свой знак, поэтому х= — абсцисса точки перегиба.

Следовательно, В — точка перегиба графика функции.

Рис. 3

6. х=1 – точка разрыва функции, .Поэтому прямая х=1 является вертикальной асимптотой графика. Для определения уравнения наклонной асимптоты y=kx+b воспользуемся формулами:

При вычислении последнего предела использовалось правило Лопиталя.

Значит прямая у=0 есть горизонтальная асимптота графика исследуемой функции, представленного на рис. 4.

Рис.4

Задача 5. Резервуар, имеющий форму открытого сверху прямоугольного параллелепипеда с квадратным дном, нужно вылудить внутри оловом. Каковы должны быть размеры резервуара при его емкости 108 л воды, чтобы затраты на его лужение были наименьшими?

Решение. Затраты на покрытие резервуара оловом будут наименьшими, если при данной вместимости его поверхность будет минимальной.

Обозначим через а сторону основания, b — высоту резервуара. Тогда площадь S его поверхности равна а²+4ab, а объем V=а²b=108. Отсюда

и

Полученное соотношение устанавливает зависимость между площадью, поверхности резервуара S (функция) и стороной основания а (аргумент). Исследуем функцию S на экстремум. Найдем первую производную S', приравняем ее к нулю и решим полученное уравнение:

Отсюда, а=6. S`(а)>0 при а>6, S'(а) <0 при а<6. Следовательно, при а=6 функция S имеет минимум. Если, а=6, то b=3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 л будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм 6 дм 3 дм.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте теоремы Ролля, Лагранжа. Каков их геометрический смысл?

2. Какая функция называется возрастающей? Убывающей?

3. Сформулируйте необходимый, достаточный признаки возрастания и убывания функции.

4. Какие точки называются стационарными? Критическими?

5. Назовите достаточные признаки экстремума функции.

6. Какая кривая называется выпуклой? Вогнутой?

7. Как найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой?

8. Сформулируйте достаточный признак существования точки перегиба кривой.

9.Что называется асимптотой кривой? Как найти вертикальные и наклонные асимптоты?

10. Назовите схему исследования функции и построения ее графика?

11.В каком случае применяется правило Лопиталя при вычислении пределов?