Плоские фермы

Решение плоских ферм заключается в определении усилий в их стержнях. В конструкциях плоских ферм, основанных на применении неизменяемого конструктивного модуля – треугольника, все усилия действуют вдоль стержней, приводя либо к их растяжению, либо к сжатию. Предварительно определяют реакции опор из уравнений равновесия с обязательной проверкой решения. Усилия в стержнях определяются методами вырезания узлов или моментных точек (метод Риттера).

Метод вырезания узлов состоит в последовательном вырезании каждого из шарнирных узлов фермы и рассмотрении их равновесия под действием приложенных к узлу активных сил, включая и реакции связей, и усилия в перерезанных стержнях. В рассматриваемом узле может быть не более двух стержней с неизвестными усилиями, так как для плоской системы сходящихся сил можно составить только два уравнения равновесия. При рассмотрении равновесия каждого узла усилия перерезанных стержней направляют от узла, считая, что все стержни растянуты. Если в результате расчета усилие в стержне получится со знаком «+», то стержень растянут, если со знаком «–» – стержень сжат. В последующих решениях ранее определенное усилие подставляется в уравнения равновесия со своим знаком.

Пример 5. Определение усилий в стержнях плоской фермы

П лоская ферма (рисунок 13) нагружена сосредоточенными силами P₁ = 58 кН; P₂ = 50 кН; P₃ = 85 кН. Определить усилия в стержнях методом вырезания узлов.

Рисунок 13 – Схема плоской фермы

Определение реакций опор. Рассмотрим систему сил, приложенных к ферме. Отбросим связи в опорах А и В; реакцию шарнирно-неподвижной опоры А разложим на составляющие X_A и Y_A, направленные вдоль осей координат (рисунок 14). Реакцию R_B шарнирно-подвижной опоры В направим по оси y.

Вычислим статическую определимость фермы по формуле:

где S – число стержней;

n – число узлов.

Получим:

21 = 12 · 2 – 3 = 21.

Ферма статически определима. Все модули фермы составлены из геометрически и конструктивно неизменяемых элементов –

т

Q

реугольников, следовательно, ферма геометрически неизменяема.

Рисунок 14 – Расчетная схема фермы

Вычислим углы, необходимые при расчетах (рисунок 15):

Рисунок 15 – Определение углов между стержнями фермы

Определим угол (рисунок 15, а):

Определим угол (рисунок 15, б):

Силу P₃ разложим на две составляющие и с модулями:

кН;

кН.

Реакции в опорах определим из уравнений равновесия:

(14)

(15)

(16)

Из уравнения (14)

кН.

Из уравнения (15)

кН.

Из уравнения (16)

кН.

Проверка определения опорных реакций:

Реакции в опорах определены правильно.

Определение усилий в стержнях плоской фермы. Используем метод вырезания узлов. Вырежем последовательно те узлы, в которых есть не более двух неизвестных усилий.

Узел А (рисунок 16, а). Составим уравнения равновесия (проекции сил на координатные оси):

(17)

(18)

Рисунок 16 – Узлы фермы:

а – узел А; б – узел С; в – узел D

Из уравнения (18)

кН.

Из уравнения (17)

кН.

Узел С (рисунок 16, б). Составим уравнения равновесия. Учтем, что здесь (и далее) .

(19)

(20)

Из уравнения (19)

кН.

Из уравнения (20)

кН.

Узел D (рисунок 16, в). Запишем уравнения равновесия:

(21)

(22)

Из уравнения (22)

кН.

Из уравнения (21)

кН.

Узел E (рисунок 17, а). Уравнения равновесия:

(23)

(24)

Рисунок 17 – Узлы фермы:

а – узел E; б – узел F; в – узел H

Из уравнения (23)

кН.

Из уравнения (24)

кН.

Узел F (рисунок 17, б). Уравнения равновесия:

(25)

(26)

Из уравнения (26)

кН.

Из уравнения (25)

кН.

Узел H (рисунок 17, в). Уравнения равновесия:

(27)

(28)

Из уравнения (27) кН.

Из уравнения (28)

Узел G (рисунок 18, а). Уравнения равновесия:

(29)

(30)

Рисунок 18 – Узлы фермы:

а – узел G; б – узел K; в – узел I

Из уравнения (30)

кН.

Из уравнения (29)

кН.

Узел К (рисунок 18, б). Уравнения равновесия:

(31)

(32)

Из уравнения (31)

кН.

Из уравнения (32)

кН.

Узел I (рисунок 18, в). Уравнения равновесия:

(33)

(34)

Выразим усилие S₁₆ из уравнения (33):

Подставим S₁₆ в уравнение (34):

кН.

Определим усилие S₁₆ из уравнения (33):

кН.

Узел М (рисунок 19, а). Уравнения равновесия:

(35)

(36)

Рисунок 19 – Узлы фермы:

а – узел M; б – узел N

Из уравнения (35)

кН.

Из уравнения (36)

кН.

кН.

Узел N (рисунок 19, б). Достаточно одного уравнения равновесия:

(37)

Из уравнения (37)

кН.

Внесем значения полученных усилий в таблицу 8. Следует отметить, что расчетные данные усилий в стержнях удобно вносить в таблицу по мере их вычисления – это облегчает последующие расчеты.

Таблица 8 – Расчетные усилия в стержнях плоской фермы

Номер стержня	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Знак усилия	–	+	+	–	+	+	+	–	+	+
Усилие, кН	118, 79	46, 00	41, 89	93, 94	19, 36	35, 26	25, 97	74, 14	28, 88	51, 29

Окончание таблицы 8

Номер стержня	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
Знак усилия		–	–	+	+	–	+	+	–	+	–
Усилие, кН	0, 00	74, 14	28, 88	51, 29	24, 03	97, 57	23, 59	3, 20	119, 63	16, 29	11, 52

Задание 5

Определить усилия в стержнях плоской фермы. Конструктивные

схемы ферм приведены в таблице 9, исходные данные – в таблице 10.

При решении прежде всего следует рассчитать статическую определимость фермы и оценить ее геометрическую неизменяемость. Далее следует определить реакции в опорах фермы и проверить результаты решения. Реакции опор входят в уравнения равновесия (суммы проекций всех действующих сил, включая и реакции связей, на оси координат) плоской координатной системы для расчета усилий в стержнях фермы наравне с действующими активными силами.

Таблица 9 – Расчетные схемы плоских ферм

Продолжение таблицы 9

Продолжение таблицы 9

О кончание таблицы 9

Таблица 10 – Исходные данные для задания 5

Номер варианта	Р1, кН	Р2, кН	Р3, кН	Р4, кН	Р5, кН	а, м	h, м	, град.
1	5	5	5	20	30	-	-	-
2	5	10	20	30	-	-	-	30
3	10	5	20	20	-	2	6.0	-
4	10	30	50	-	-	-	-	-
5	5	5	20	20	-	-	-	30
6	10	20	10	10	20	-	-	30
7	5	10	20	-	-	-	-	30
8	10	20	30	-	-	2	5,0	-
9	10	20	30	-	-	-	-	-
10	20	10	10	20	-	-	-	45
11	10	20	40	-	-	-	-	45
12	10	20	30	30	-	2	6,0	-
13	10	10	10	20	20	-	-	45
14	10	10	10	10	20	-	-	-
15	10	20	10	-	-	2	1,5	-
16	10	20	20	30	-	-	-	-
17	10	20	20	-	-	3	5,0	-
18	10	40	20	20	-	3	3,5	-
19	10	10	40	20	-	3	3,5	-
20	10	40	20	-	-	-	-	-
21	10	20	10	40	-	3	4,0	-
22	10	10	20	30	-	-	-	-
23	5	10	10	40	30	-	-	-
24	10	20	20	20	-	2	2,4	-
25	10	20	20	-	-	2	2,4	-
26	10	20	20	-	-	2	2,3	-
27	10	20	10	-	-	2	3,0	-
28	20	20	10	-	-	-	-	-
29	10	20	20	40	-	2	2,2	-
30	10	10	20	30	30	-	-	-