Пространственная система сходящихся сил
В такой системе сил, характерной для авиационных конструкций, в каждой точке схода сил составляем три уравнения равновесия проекций сил на оси пространственной координатной системы.
Пример 3. Определение усилий в стержнях
пространственной конструкции
Исходные данные: P = 4 кН (направлена по AB); a = 4 м; b = 5 м; с = 4 м; d = 1 м. Определить усилия в стержнях 1…6 (рисунок 7).
Рисунок 7 – Пространственная стержневая конструкция
Аналитический метод решения
Стержни конструкции сходятся в узлах A и D. Первоначально направим усилия S1, S2, S3, S4, S5, S6 от соответствующих узлов. Введем обозначения углов и укажем положение осей x, y, z пространственной системы координат (рисунок 8).
Рисунок 8 – Усилия в стержнях пространственной конструкции
Рассмотрим узел A. Сила P и реакции стержней S1, S2, S3 взаимно уравновешиваются. Составим три уравнения равновесия для узла A:
(5)
(6)
(7)
По размерам пространственной конструкции вычисляем синусы и
косинусы углов
(из
прямоугольных треугольников):
Из уравнения (7)
кН.
Из уравнения (6)
кН.
Из уравнения (5)
Рассмотрим узел
D.
В нём сходятся стержни 1, 4, 5, 6. Направим
усилия от узла с учётом того,
что
.
Составим три
уравнения равновесия:
(8)
(9)
(10)
Определим синус и косинус угла :
Из уравнения (8)
кН.
Из уравнения (9)
кН.
Из уравнения (10)
кН.
Результаты расчета сведем в таблицу 3, где плюс соответствует растяжению стержня, минус – сжатию.
Таблица 3 – Усилия в стержнях пространственной конструкции
Номер стержня |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Знак усилия |
– |
+ |
– |
+ |
– |
+ |
Усилие, кН |
3,00 |
2,12 |
3,39 |
2,65 |
2,65 |
3,44 |
Стержни 1, 3, 5 сжаты, а стержни 2, 4, 6 растянуты. В этой, как и во всех предыдущих задачах, минус указывает на то, что направление силы (усилия) противоположно первоначально принятому.
Задание 3
Аналитическим методом вырезания узлов определить усилия в шести стержнях пространственной шарнирно-стержневой конструкции. Сила Р действует в направлении АВ, сила Q – в направлении DE. Исходные данные приведены в таблице 4, схемы конструкций – в таблице 5. При вычерчивании схем пространственных конструкций для большей наглядности рекомендуется соблюдать структуру линий по толщине. Стержни и действующие силы следует делать более толстыми.
Таблица 4 – Данные для расчета пространственной конструкции
Номер варианта |
Сила, кН |
Размер, м |
Номер варианта |
Сила, кН |
Размер, м |
||||||||
P |
Q |
прямоуголь- ного парал- лелепипеда |
d
|
P |
Q |
прямоуголь- ного парал- лелепипеда |
d
|
||||||
a |
b |
c |
a |
b |
c |
||||||||
1 |
9 |
- |
4,0 |
5,0 |
4,0 |
1.0 |
16 |
2 |
4 |
4,0 |
5,0 |
4,5 |
- |
2 |
6 |
8 |
4,5 |
5,0 |
4,0 |
- |
17 |
3 |
5 |
3,5 |
4,5 |
4,0 |
- |
3 |
3 |
5 |
2,0 |
3,0 |
2,5 |
- |
18 |
4 |
6 |
4,0 |
5,0 |
4,5 |
- |
4 |
5 |
3 |
3,5 |
5,5 |
4,0 |
- |
19 |
6 |
4 |
4,5 |
5,0 |
4,0 |
- |
5 |
7 |
5 |
4,0 |
5,0 |
4,5 |
- |
20 |
8 |
6 |
2,5 |
3,0 |
3,0 |
- |
6 |
8 |
6 |
4,5 |
5,5 |
4,0 |
- |
21 |
3 |
5 |
4,5 |
5,0 |
4,0 |
- |
7 |
2 |
- |
3,5 |
5,0 |
4,0 |
- |
22 |
5 |
3 |
4,0 |
5,5 |
4,5 |
- |
8 |
4 |
6 |
4,0 |
5,0 |
3,5 |
- |
23 |
6 |
4 |
3,5 |
5,0 |
3,5 |
1,0 |
9 |
5 |
6 |
4,5 |
5,0 |
3,5 |
- |
24 |
2 |
3 |
4,0 |
5,5 |
4,0 |
- |
10 |
6 |
4 |
3,5 |
5,0 |
4,5 |
- |
25 |
4 |
6 |
3,5 |
5,0 |
4,0 |
- |
11 |
8 |
4 |
4,0 |
5,5 |
3,5 |
- |
26 |
8 |
- |
4,0 |
6,0 |
4,5 |
- |
12 |
7 |
9 |
4,5 |
5,0 |
4,0 |
- |
27 |
9 |
7 |
2,0 |
3,0 |
2,5 |
- |
13 |
4 |
6 |
2,0 |
3,5 |
2,5 |
- |
28 |
3 |
- |
4,5 |
5,5 |
3,5 |
1,5 |
14 |
5 |
7 |
3,5 |
5,5 |
4,0 |
1,5 |
29 |
7 |
6 |
3,5 |
5,0 |
4,0 |
1,0 |
15 |
9 |
- |
4,5 |
5,5 |
4,0 |
- |
30 |
6 |
5 |
4,0 |
5,5 |
3,5 |
- |
Таблица 5 – Схемы пространственных конструкций
1
c
d |
2
c
|
3
b
c
|
4
P
a
A
|
5
P
c |
6
b |
Продолжение таблицы 5
7
b
c |
8
b
c |
9
b
c |
1
b
c |
11
c |
1
b
c |
Продолжение таблицы 5
13
|
1
b
|
1
b
P
c |
1
b
|
1
b
B |
1
b
|
Продолжение таблицы 5
19
c |
2
b
P
c |
2
D
E
Q
6
c |
2
P
c |
2
P
c |
24
b
c |
Окончание таблицы 5
2
Q
c
|
2
c |
b
D |
28
3 |
29
P |
3
Q
|
6
2
