леции-Деменко(2 семестр) / Lma2s-8

29

Функции многих переменных.

Сейчас мы займемся изучением функций, область определения которых . Сначала остановимся на определении пространства .

Определение. Пространством называется линейное пространство мерных векторов

с введенными на нем операциями сложения и умножения на скаляр и расстоянием, определяемым по формуле

.

Функция расстояния удовлетворяет трем аксиомам расстояния:

(неотрицательность) ;

(симметричность) ;

(неравенство треугольника) .

Два первые утверждения очевидны. Остановимся на доказательстве справедливости третьей аксиомы. Нам понадобится следующее неравенство:

Утверждение (неравенство Коши-Буняковского). Для любых справедливо неравенство

.

Доказательство. Рассмотрим функцию

.

Она представляет собой неотрицательный квадратный трехчлен, дискриминант которого, соответственно, должен быть неположительным, то есть

.

Докажем теперь неравенство треугольника:

.

Определение. Окрестностью радиуса точки называется множество

.

Определение. Точка , принадлежащая множеству , называется внутренней точкой этого множества, если она принадлежит ему вместе с некоторой своей окрестностью, то есть

.

Определение. Множество , называется открытым, если все его точки – внутренние.

Пример. Множество точек с координатами, удовлетворяющими неравенству (изобразите его) является открытым множеством в пространстве .

Определение. Точка называется граничной точкой множества , если в любой ее окрестности содержатся как точки, принадлежащие множеству , так и не принадлежащие ему, то есть

.

Определение. Объединение всех граничных точек множества называется границей этого множества.

Определение. Множество называется замкнутым, если оно содержит свою границу.

Пример. Множество точек с координатами, удовлетворяющими неравенству (изобразите его) является замкнутым множеством в пространстве .

Определение. Отрезком называется множество точек , координаты которых удовлетворяют уравнениям:

.

Определение. Шаром радиуса с центром в точке называется замкнутая окрестность

.

Определение. Параллелепипедом (мерным) называется множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам

.

Определение. Множество называется ограниченным, если оно содержится в некотором шаре конечного радиуса или в параллелепипеде с ребрами конечной длины.

Пример. Множество точек с координатами, удовлетворяющими неравенству (изобразите его) является ограниченным множеством в пространстве .

Определение. Ломаной с узлами в точках называется объединение отрезков: .

Определение. Множество называется связным, если любые две его точки можно соединить ломаной, целиком содержащейся в .

Пример. Множество точек с координатами, удовлетворяющими неравенству , является связным, а множество, определяемое неравенством , несвязным в пространстве .

Определение. Областью в пространстве называется открытое связное множество. Область с границей называется замкнутой областью.