леции-Деменко(2 семестр) / Lma2s-13

40

Производные и дифференциалы высших порядков.

Если функция , определенная в некоторой области , имеет частную производную по переменной , то эта частная производная вновь является некоторой функцией, которая в свою очередь может иметь частную производную . Эта функция называется второй производной функции по переменным и обозначается символом . Порядок индексов указывает, в каком порядке производится дифференцирование по соответствующим переменным.

Мы определили частные производные второго порядка.

Если определена частная производная

порядка , то по индукции определяем частную производную порядка соотношением

.

Когда функции записываются в виде , вторые или третьи частные производные часто обозначаются следующим образом: и так далее.

Возникает вопрос о том, влияет ли порядок дифференцирования на вычисленную частную производную. В общем случае влияет, но если функция удовлетворяет некоторым условиям, то нет. Сформулируем соответствующую теорему для случая функции двух переменных.

Теорема (Шварца). Если функция непрерывна вместе со своими вторыми частными производными в некоторой окрестности , точки , то

.

Доказательство. Введем вспомогательную функцию

,

где смещение предполагается достаточно малым, чтобы .

Функцию можно представить как разность

,

где . Тогда по формуле конечных приращений имеем

.

Применяя формулу конечных приращений к последней разности, получим

. (1)

Если теперь представить в виде разности

,

где , то аналогичным образом найдем, что

. (2)

Сравнивая равенства (1) и (2), заключаем, что

.

Воспользовавшись непрерывностью рассматриваемых частных производных в точке при , получаем нужное нам равенство.

Следствие. Пусть функция определена и непрерывна вместе со всеми своими частными производными до го порядка включительно.

Тогда значение любой й смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования.

Дифференциалы высших порядков.

Пусть в области задана некоторая функция , имеющая непрерывные частные производные первого порядка. Тогда она будет дифференцируема в этой области, и ее дифференциал имеет вид

,

где - произвольные приращения независимых переменных .

Видим, что также является функцией от . Если существуют непрерывные частные производные второго порядка функции для , то можно говорить о дифференциале от первого дифференциала , который называется дифференциалом второго порядка от и обозначается символом .

Приращения при этом рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему.

Запишем формулу второго дифференциала для функции двух переменных :

.

Если первый дифференциал символически записать следующим образом

,

то второй будет иметь вид

.

Можно показать, что аналогичная формула справедлива для дифференциалов любого порядка от функций любого же количества переменных :

.

Дифференциалы сложных функций.

Рассмотрим сложную функцию , где, в свою очередь, . В этом случае первый дифференциал имеет прежнюю форму

,

но здесь уже и являются дифференциалами не независимых переменных, а функций.

Вычислим теперь второй дифференциал данной функции:

.

Видим, что для дифференциала второго порядка инвариантность формы, вообще говоря, уже не имеет места (если ). Однако, если функции линейные, то и инвариантность формы сохраняется.

То есть в этом случае , хотя и .

Аналогичный факт будет справедлив для функций большего числа переменных и дифференциалов произвольных порядков.

Формула Тейлора.

Теорема. Если функция определена и непрерывна вместе со своими частными производными до порядка включительно в некоторой окрестности точки , то справедлива формула

.

Доказательство. Формула Тейлора является следствием соответствующей формулы для функции одной переменной. В самом деле, введем вспомогательную функцию , которая определена на отрезке и имеет на нем производные до порядка включительно. Запишем для нее формулу Тейлора

, . (3)

Так как зависимость переменных от переменной линейная, то форма дифференциалов сохраняется, то есть

.

Подставив полученные выражения в равенство (3), получим нужную нам формулу.