2.6.2. Перетворення логічних виразів

Логічні операції виконують в наступній послідовності: першою виконується операція "НІ", якщо вона охоплює відразу групу змінних, потім виконується операція "І" і останньою - операція "АБО". Таким чином, зберігається той самий порядок виконання операцій, що і в елементарній алгебрі - спочатку всі множення, а потім - додавання .Цей порядок може бути змінений при допомозі дужок.

В алгебрі логіки, як і в елементарній, справедливі сполучний, переміщувальний та розподілювальний закони:

А + (В + С) = (А + С)+ В = А + В + С

(А-В)С = А(В-С) = А-ВС

А + В = В + А;А-В = В-А

А(В + С) = АВ + АС

_X

однак необхідно пам'ятати, що оскільки в алгебрі логіки можливі тільки дві операції, які еквівалентні додаванню і множенню, на неї не можна поширювати всі правила елементарної алгебри (правила віднімання і ділення). Вислови в алгебрі логіки не можуть ділитися і тому в ній не можна скорочувати спільний множник.

Корисність перетворень характеризується тим, що перетвореному логічному виразу відповідає і дещо інше електричне коло. А це значить, що можна вибрати із еквівалентних за дією електричних кіл те, яке найбільш підходить із технічних міркувань. Крім цього, спрощеному логічному виразу буде відповідати і більш проста, а, відповідно, і більш дешева електрична схема. Тому маніпулюючи з логічними виразами, а не експериментуючи з електричними колами, можна спроектувати схему, яка буде спрощена і буде задовольняти всім поставленим вимогам.

В алгебрі логіки існує біля 20 теорем, які дозволяють перетворювати логічні вирази. Розглянемо тотожності для одного вислову (однієї змінної). -^ А+А=А; АА=А; А+А=1; А-А=0; А-0=0; А+1=1; А+0=А;'А-1=А.

Справедливість тотожностей можна перевірити на відповідних електричних схемах, які

0-

-У о <^-

}/*,_

Іґ-

а)

_{з/,_}

4-

-*

VI

V.

г)

в)

представлені на рис.2.20.

Рис.2.20. Перевірка логічних тотожностей для одного вислову електричними схемами (а - контакти реле).

Дійсно, для рис.2.20а коло, яке складається із двох однакових контактів а, ввімкнених паралельно, завжди буде замикатися в тих випадках, що і коло з одним контактом а (ймовірність відмови елементів схем не враховується). Аналогічні пояснення можна зробити і для схем на оис.2.206. в. г.

«

Для двох висловів (змінних) часто використовують тотожності: А+АВ=А+В А+АВ^А+В, які можна перевірити електричними схемами, зображеними на рис.2.21.

.У-

б)

Рис.2.21. Перевірка логічних тотожностей для двох висловів електричними схемами (а. а і в - контакти реле).

Схеми на рис.2.21 а рівноцінні, оскільки обидві замкнуті через контакти а, коли реле а не ввімкнено (реле В може бути в будь-якому стані). Якщо реле А спрацювало (контакт а розімкнувся, а а - замкнувся), тобто обидві схеми будуть замкнені, якщо реле В ввімкнено. Аналогічно можна описати схеми на рис.2.21 б.

В процесі перетворень часто використовують також і наступні тотожності:

АВ = А + В

(а + в)=1-в

для прикладу спростимо електричне коло, зображене на рис.2.22а. Спочатку спростимо його логічний вираз

С = ~А + А-(А + В~)-В = 1 + А-А-В + А-~В-В = 1 + АВ = 1 + В.

Спрощеному виразу відповідає схема на рис.2.226

а) б)

Рис.2.22. Спрощення електричних кіл за спрощенням логічних висазів.