- •Контрольная работа на неопределенные интегралы (2 семестр)
- •Контрольная работа
- •Домашняя работа
- •Определенные интегралы
- •(2-Й семестр)
- •Домашняя работа по теме «числовые ряды» (2 семестр)
- •Домашняя работа по теме
- •«Функциональные
- •Последовательности и ряды»
- •(2 Семестр)
- •Фуккциям многих переменных. (2 семестр)
Домашняя работа
НА
Определенные интегралы
(2-Й семестр)
ЗАДАЧА 1. Оценить интеграл .
а) Находим критические точки подынтегральной функции
> solve(diff(f(x),x),x);
и выбираем из них точки, лежащие на отрезке [a,b] .
б) Вычисляем значения функции в этих точках и на концах отрезка при помощи команды подстановки
> subs(x=a,f(x));
в) Выбираем из этих значений наименьшее m и наибольшее М и строим три графика: > plot({m,M,f(x)},x=a..b);
Уметь находить на этом чертеже три площади, соответствующие оценке!
г) Пишем оценку для интеграла
д) Вычисляем численное значение интеграла ДВУМЯ командами
>Int(f(x),x=a..b);
>evalf(%);
и проверяем справедливость оценки (тройного неравенства) из пункта г).
ЗАДАЧА 2. Площадь области, ограниченной кривыми у=, у=х2 , у=х2/8 .
а) Строим кривые
> plot({sqrt(x),x^2,x^2/8},x=0..5,y=0..3,color=black);
б) Определяем точки пересечения, приравнивая функции. Затем находим площадь области по формуле
> S:=int(x^2-x^2/8,x=0..1)+int(sqrt(x)-x^2/8,x=1..4);
в) Изображаем тело вращения. Для этого сначала задаем верхнюю и нижнюю границы области S командами
> y2:=x->piecewise(x<1,x^2,sqrt(x)); y1:=x->x^2/8;
а затем строим две поверхности, ограничивающие объем вращения, командой
>plot3d({[y2(u)*cos(v),u,y2(u)*sin(v)],[y1(u)*cos(v),u,y1(u)*sin(v)]},u=0..4,v=Pi/2..2*Pi);
Примечание. Здесь объем получился в разрезе, т.к. круговая координата vменяется от /2 до 2 (три четверти оборота). Для получения полного объема она должна меняться от 0 до 2 , но тогда картинка будет менее наглядной.
Объем тела вращения вычисляется затем при помощи MAPLE по формуле
ЗАДАЧА 3. Объем усеченной призмы.
В MAPLE точка М пространства задается так M:=[a,b,c];
Примечание. Наименования D, I, О запрещены. Можно употреблять d, i, o .
Пусть дана плоскость
> z:=32.8-3*x+0.8*y;
Зададим точки для построения рёбер призмы и её сечения
> o:=[0,0,0]:A:=[1,0,0]:A1:=[2,0,0]:A2:=[3,0,0]:B:=[1,1,0]: B1:=[2,2,0]:B2:=[3,3,0]:C:=[1,2,0]:C1:=[2,4,0]:C2:=[3,6,0]:P:=[1,1,subs(x=1,y=1,z)]:P1:=[2,2,subs(x=2,y=2,z)]: P2:=[3,3,subs(x=3,y=3,z)]:Q:=[1,2,subs(x=1,y=2,z)]: Q1:=[2,4,subs(x=2,y=4,z)]:Q2:=[3,6,subs(x=3,y=6,z)]:
Строим ребра и грани призмы командой (буквы команды и опций заглавные!)
>PLOT3D(POLYGONS([o,A2],[o,B2],[o,C2],[A,C],[A1,C1], [A2,C2],[B,P],[B2,P2],[C,Q],[C2,Q2],[B1,P1,Q1,C1], [P,P2,Q2,Q]),THICKNESS(2));
После получения рисунка нужно щелкнуть по нему правой мышью, в появившемся окне выбрать color Z(Grayscale) чтобы рисунок был черно-белым. Так его удобнее печатать (не у каждого есть цветной принтер).
Затем щелкнуть по рисунку левой мышью и ввести систему координат (третья строчка меню, третья кнопка с красным пятном, считая слева,).
Точка (2,0,0) и (3,0,0) на чертеже это, конечно же, точки (t,0,0) и (2,0,0). Точке (t,0,0) соответствует сечение тела, имеющее форму трапеции с высотой t и с основаниями, которые можно вычислить, если в уравнение плоскости подставить координаты точек (t, t) и (t, 2t)
>b1:=subs(x=t,y=t,z); b2:=subs(x=t,y=2*t,z);
Затем находим площадь сечения и объём тела
> S:=t*(b1+b2)/2; V:=int(S,t=1..2);
Ответ. Объем усеченной призмы равен V = 45.
2 t
ЗАДАЧА 4 делается ВРУЧНУЮ с использованием формулы для длины дуги
. Дополнительно следует по этой же формуле численно подсчитать на MAPLE длину периметра области из ЗАДАЧИ 2.
ЗАДАЧА 5. Метод трапеций, замена переменной в определенном интеграле.
Дан интеграл и дан шаг расчетаh=0,1.
а) Строим график подынтегральной функции
> plot(sqrt((5*x-19)/(5*x-14)),x=3.8..4.8,color=black);
На этом графике нужно вручную провести вертикальные линии и изобразить те трапеции, сумму площадей которых мы будем вычислять.
б) Задаем точки деления отрезка и значения подынтегральной функции в этих точках
> x[n]:=3.8+0.1*n;
> y[n]:=subs(x=x[n],sqrt((5*x-19)/(5*x-14)));
в) Вычисляем эти значения функции в точках деления
> y[n]$n=0..10;
г) Вычисляем приближенное значение интеграла по формуле трапеции («шаг на сумму всех ординат, первая и последняя – с коэффициентом ½ »)
> INT=0.1*(sum(y[n],n=1..9)+1/2*0.7071067812);
д) Вычислить точное значение интеграла ДВУМЯ командами
> Int(sqrt((5*x-19)/(5*x-14)),x=3.8..4.8);
> evalf(%);
Объяснить, почему формула трапеций дает ответ с недостатком.
е) Вычислить ВРУЧНУЮ значение интеграла, сделав замену
.
Решая это уравнение относительно х при помощи команды >solve, находим х(t). Затем, используя команду >diff находим dx=x’(t)dt . Определяем интервал изменения новой переменной t ,т.е. новые пределы интегрирования. Заменяем в подынтегральном выражении корень на t. а dx – на x’(t)dt . Получим интеграл от рациональной функции, которую представляем в виде суммы простейших дробей
.
Находим коэффициенты (можно при помощи MAPLE , см. ниже задачу 6). Получаем A=B=C=1 , D= –1.
Интегрирование этих простейших дробей производим ВРУЧНУЮ.
ЗАДАЧА 6. Интегрирование рациональной дроби.
Пусть требуется вычислить интеграл
а) У данной подынтегральной дроби следует разложить знаменатель на неразложимые сомножители (в нашем примере он уже разложен) и представить эту дробь в виде суммы простейших дробей 1-го, 2-го и 3-го типов с неопределенными коэффициентами. Получившееся равенство обозначим буквой Q
> Q:=2*(x^2+x+1)/(x-1)/(x-2)^2/(x^2-2*x+2)=A/(x-1)+
B/(x-2)+C/(x-2)^2+(D*x+E)/(x^2-2*x+2);
Умножим это равенство на знаменатель. Получим тождество R
> R:=Q*(x-1)*(x-2)^2*(x^2-2*x+2);
Упростим получившееся тождество и результат обозначим через eq
> eq:=simplify(R);
В полученное тождество подставим вместо х пять произвольных значений. Получим систему пяти уравнений для неизвестных A, B, C, D, E .
>eq1:=subs(x=1,eq):eq2:=subs(x=2,eq):eq3:=subs(x=3,eq):eq4:=subs(x=4,eq):eq5:=subs(x=5,eq):
Решим эту систему
> solve({eq1,eq2,eq3,eq4,eq5},{A,B,C,D,E});
После этого все интегралы от простейших дробей (включая дробь третьего типа) следует вычислять ВРУЧНУЮ.
ПРОВЕРКА. Коэффициенты во всех вариантах равны единице или двум.
Примечание. В MAPLE имеется команда преобразования рациональной дроби R(x) в сумму простейших дробей
> convert(R(x),parfrac,x);
Но эту команду разрешается применять ТОЛЬКО для проверки.