Предикат  Нераспространенное простое предложение

Из атомов с помощью, выполняющих функции союзов, символов составляются логические формулы, соответствующие сложным предложениям. В логике предикатов используются два класса символов. Первый класс соответствует союзам и включает операции дизъюнкции, конъюнкции, отрицания, импликации и эквивалентности.

Символы первого класса позволяют определять новый составной предикат, используя уже определенные предикаты. Различие между символами первого класса лежит в правилах, в соответствии с которыми определяются значения истинности или ложности составного предиката в зависимости от истинности или ложности элементарных предикатов. Символы и, вообще говоря избыточны так, как:

но используются т.к. эквивалентен фразе (заменяет) «Если А, то В», а- «А и В эквивалентны».

В качестве символов второго класса используются и. Эти символы называются кванторами общности и существования, соответственно. Переменная, которая квантифицирована, т.е. к ней применен один из кванторов, называется связанной. Квантор общности является обобщением, аналогом конъюнкции, а квантор существования – обобщением, аналогом дизъюнкции на произвольное, не обязательно конечное множество.

Действительно, пусть Тогда для любого предикатаUвыполняется:

Аналогом законов Де Моргана для кванторов являются:

Часто возникает ситуация, когда некоторые переменные связываются кванторами , а все другие -. В этом случае может возникнуть неоднозначность при интерпретации кванторов.

Пусть задан некоторый предикат U(x,y). Очевидно, что возможно восемь случаев связывания его кванторами существования и общности:

Необходимо дать интерпретацию этим восьми случаям.

Рассмотрим, например, предикат подсистема(x, y), который задает отношениеx подсистема y.Пусть переменнаяxсвязана квантором общности, аy– квантором существования. В этом случае существует две интерпретации: 1. «Для всехx, существуетy, для которыхxподсистема», 2. «Существуетy, что всеxего подсистемы».

Порядок следования связанных квантором переменных определяется при чтении предиката слева направо. Дадим интерпретацию для других значимых случаев, которые можно выразить этим предикатом и кванторами:

• (x)(y)подсистема(x, y) – все объекты являются подсистемами;

• (x)(y)подсистема(x,y) – существует объект, который является подсистемой любого объекта;

• (y)(x)подсистема(x, y) – для всякого объекта существует объект, являющийся его подсистемой;

• (x)(y)подсистема(x, y) – существует объект, который является чей-то подсистемой.

Сделаем некоторые важные обобщения.

1.Чтобы найти отрицание выражения, начинающегося с кванторов, надо каждый квантор заменить на его двойственный и перенести знак отрицания за кванторы. Отсюда:

2.Одноименные кванторы можно переставлять. Разноименные кванторы можно переставлять только в одну сторону. Отсюда:

Если то

Действительно, если существует объект, который является чьей-то подсистемой, то для каждого объекта будет существовать объект, являющийся его подсистемой.

Если то

Действительно, если существует y, что всеxего подсистемы, то для всехxсуществуетy, для которогоxподсистемы. Однако, перестановка в обратную сторону неверна. Например:

Если тонеобязательно.

Действительно, если для каждого объекта существует объект, являющийся его подсистемой, то это не означает, что существует объект, который является чьей-то подсистемой.

3.

Докажем эту равносильность.

В этой выкладке мы опирались на следующее утверждение: