Выборочные характеристики

Следующие функции от выборки называются выборочными характеристиками. Это

1. Выборочное среднее

2. Выборочная дисперсия

3. Несмещенная выборочная дисперсия

4. Минимальная порядковая статистика

5. Максимальная порядковая статистика

6. -тая порядковая статистика

7. Медиана

8. Вариационный ряд выборки

Эти характеристики позволяют компактно представить часть информации, содержащейся в выборке, и часто естественным образом возникают при решении статистических задач.

Свойства выборочных характеристик

Пользуясь методами теории вероятностей (свойства математического ожидания и дисперсии, закон больших чисел и центральная предельная теорема), нетрудно получить (в априорном предположении о существовании достаточного числа моментов у случайной величины ) следующие свойства выборочных характеристик.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. Если функция распределения данных непрерывна, то пригде- так называемая- квантиль, т. е. корень уравнения

Моделирование выборок на компьютере

Моделирование числовых выборок на компьютере позволяет проиллюстрировать основные теоремы и методы классической статистики и рассчитать те характеристики статистических процедур, теоретический расчет которых затруднителен или невозможен.

Основная задача моделирования в этом случае – моделирование последовательности независимых значений некоторой числовой случайной величины (моделирование конкретного распределения). Обычно эту задачу разбивают на два этапа. Сначала моделируют последовательность значений базовой случайной величины, обычно равномерно распределенной на отрезке , затем преобразуют эту последовательность.

Датчик случайных чисел

Датчиком случайных чисел обычно называют программу, подпрограмму или функцию, которая обеспечивает построение последовательности чисел, моделирующих выборку из равномерного распределения на отрезке. В языках программирования эти функции обычно называются так: rand(), random() и т.п. Теория построения таких функций изложена, например, в книге Кнута «Искусство программирования для ЭВМ», том 2.

Последовательность независимых равномерно распределенных чисел на отрезке будем обозначать

Моделирование дискретных распределений

Моделирование конкретного распределения можно производить различными способами. Если распределение дискретно, то можно использовать, например, следующий прием.

Пусть - разбиение отрезка, тогда последовательность

является последовательностью независимых дискретных случайных величин, принимающих значения с вероятностями.

Например, для моделирования распределения достаточно разбить отрезокна две части длинойи, соответственно. Для моделирования распределенияприменять предложенный метод нерационально, так как придется вычислять вероятности вида

.

Гораздо проще для моделированиясложитьсмоделированных величин. Заметим, что для моделирования одной величиныв этом случае потребуетсячленов последовательности

Моделирование непрерывных распределений

Моделирование конкретного распределения можно производить различными способами. Если распределение непрерывно, то можно использовать, например, следующий прием.

Пусть - непрерывная функция распределения, тогда последовательность

является последовательностью независимых случайных величин, принимающих значения с функцией распределения.

Для доказательства достаточно вычислить функцию распределения случайной величины .

Например, для моделирования распределения достаточно положить

Для моделирования распределенияприменять предложенный метод нерационально, так как придется вычислять обратную функцию к функции вида.

Гораздо проще для моделированиясложитьсмоделированных величин. Заметим, что для моделирования одной величиныв этом случае потребуетсячленов последовательности

Моделирование нормального распределения.

Для моделирования стандартного нормального распределения можно использовать следующее утверждение.

Утверждение.

Случайные величины

независимы и стандартно нормально распределены.

Доказательство этого утверждения представляет собой упражнение из математического анализа на замену переменных в двумерном интеграле (переход к полярным координатам).