2.Критерии согласия

2.1.Сравнение дисперсий

Постановка задачи следующая. Есть k генеральных совокупностей: Х₁, Х₂, …, Х_k. Из каждой взята выборка объемом n₁, n₂, …, n_k. соответственно. По этим выборкам вычислены выборочные математические ожидания m₁, m₂, …, m_k, а затем – выборочные дисперсии D₁, D₂, …, D_k. Выдвинута 0-гипотеза о равенстве генеральных дисперсий:

D₁=D₂=…=D_k.

а)

б)

Рисунок 1 – Примеры случайных процессов:

а) стационарный процесс;

б) нестационарные процессы (1- с линейным трендом; 2- с экспоненциальным трендом; 3- с гармоническим трендом).

Проверку выдвинутой гипотезы можно осуществить с использованием различных критериев согласия. В простейшем случае можно сравнить по критерию Фишера максимальную и минимальную дисперсии. Если различие между ними выявится незначимым, то и их, и все промежуточные дисперсии можно считать оценками одной и той же генеральной дисперсии, т.е. принять 0-гипотезу. Но если крайние дисперсии отличаются значительно, то вопрос остается открытым. Если рассортировать дисперсии в порядке возрастания и сравнивать их попарно, то может оказаться, что соседние дисперсии отличаются незначительно, хотя крайние различаются значимо. Поэтому нужны такие критерии, которые учитывают все дисперсии одновременно. Для сравнения нескольких дисперсий используют критерий Кохрена или критерий Бартлета. Критерий Кохрена используется при одинаковом числе опытов во всех выборках, а при различном числе может использоваться критерий Бартлета.

2.1.1.Критерий Фишера

С помощью этого критерия производят сравнение двух дисперсий, рассчитывая отношение большей дисперсии ( ) к меньшей ( )

(1)

и сравнивая полученный результат с табличным значением (приложение A), выбранным для уровня значимости и чисел степеней свободы и для и соответственно.

Если , то с достоверностью в (1-q)*100% различие между дисперсиями считается незначимым, если нет - с той же достоверностью вероятно противоположное утверждение.

В MATLAB квантиль распределения Фишера может быть определен с помощью функции finv, имеющей следующий синтаксис:

F=finv(Р,f1,f2),

где Р – доверительная вероятность;

f1 и f2 – числа степеней свободы для и соответственно.

Ниже приведен пример М-файла, позволяющего рассчитать отношение D₁/D₂ и квантиль F-распределения Фишера, проверить выполнение (1) и сделать соответствующий вывод.

q=0.1; % уровень значимости

fprintf('Выбран уровень значимости q=%4.2f\n',q);

F=Dx(1)/Dx(2);

Fbord=finv(1-q,f,f); % квантиль F-распределения

fprintf('F=D1/D2=%12.8f\n',F);

fprintf(['Квантиль распределения Фишера=%12.8f.\n'],Fbord);

if F<Fbord(1),

disp('Принимаем 0-гипотезу.');

else

disp('Принимаем альтернативную гипотезу.');

end

2.1.2.Критерий Кохрена

Рассчитывается значение

; (2)

и сравнивается с (приложение Б), выбранным для числа сравниваемых дисперсий и числа степеней свободы , с которым определена каждая дисперсия. Если , 0-гипотеза о равенстве дисперсий принимается.

В MATLAB и его расширении нет проверки по критерию Кохрена.