Самостоятельная работа 15 вар

Министерство общего и профессионального образования РФ

Московский Государственный Институт Электроники и Математики (Технический университет)

Самостоятельная работа

по математической статистике.

15 вариант

Москва, 2008 г.

Часть 1.

Параметры										с	d	N
В-15	0.5	2	3	2	1	1	1	2	0.3	0.9	-5	150

1. X~ N(0.5,2²)

Результат в программе Statistiсa

U_0.15= -1,572867

U_0.85 = 2,572867

m_o= а = m_e = 0,5

Y=0,9X-5,

Y~ N(-4.55,1.8²)

EY= а = -4,55

DY=σ² = 3,24

m_e = m_o = а = -4,55

P(|X|≤7) = P(-7≤X≤7) = F(7)-F(-7)= 0,999423-0,000088 = 0,999335

P(|Y|≥7) = 1- P (|Y|<7) =1- P(-7≤Y≤7) = 1- F(7)+F(-7) = 1-1+0,086739 = 0,086739

следует P (|X|≤7) > P (|Y|≥7)

2. Z ~ Lognormal(0.5,2)

EZ=e^a+σ²/2 = e^0,5+2 = e^2,5 = 11,978692

DZ=e^2a+σ²(e^σ²-1) = e⁵(e⁴-1) = 173,48907 * 52,1441 = 7482,108415

m_e = e^a=2,7^0.5 = 1,643168

m_o= e^a-σ²=e^0.5-4= 0,030919

U_0.15= 0,207450

U_0.85 = 13,103335

Неравенство Чебышева : P(|Z-EZ|≤ε) ≥ DZ/(ε²)

P(|Z-EZ|≤5)≥ DZ/25 = 1 – (7482,108415)/25

P(|Z-EZ|≤5)≥-298,284337

Неравенство Чебышева выполняется

P (|Z-EZ|≤5)=Р(-5≤ Z-EZ≤5)=F(5+EZ)-F(EZ-5)=F(16,978692)-F(6,978692)=0,878189 --0,764678=0,113511

3.Распределение χ²(3)

U_0.15=0,797771

U_0.85= 5,317048

Eχ²(3) = n = 3

Dχ²(3) = 2n = 6

m_e = n-2/3=2.333333

m_o=n-2 т.к. n≥2

m_o=1

χ²(n)=, где = 1,..., п - независимые случайные величины, каждая из которых имеет стандартное нормальное распределение. Так как = 3, то из закона больших чисел следует, что

Последовательность случайных величин , j = 1, … - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин и .

По теореме Леви получаем:

Следовательно, = P(X< a) = P(X<0.5)=0.081109

4. Распределение Стьюдента t₃

EX = 0

DX = n/(n-2) = 3 т.к. n>2

m_e = 0

m_o=0

U_0.25 = -0,764892 U_0.75 = 0,764892

Случайная величина t(n) имен распределение Стьюдента, с n степенями свободы, если

Где случайные величины X, - независимы, и X имеет стандартное нормальное распределение, а распределяется по закону хи-квадрат с n степенями свободы. Так как при больших числах

А из сходимости по распределению:

Это означает, что при больших n распределение Стьюдента с n степенями свободы можно приближенно считать стандартным нормальным распределением.

=P(X< a)= P(X< 0.5)=0.674276

5. Распределение Фишера F_2,3

n=3<4-дисперсии не существует

EX = n/(n-2) = 3 т.к.n>2

m_o=(m-2)*n/(m*(n+2)) = 0 т.к. m=2

U_0.25 =0,317121

U_0.75 =2,279763

6. X~N(1,1) , Y~N(1,2)

7. Z= -5X+Y, X~N(1,1) , Y~N(1,4)

EZ = E(-5X+Y) = -5EX+EY = -4

DZ= D(-5X+Y) = 25DX+DY = 29

Z ~ N(-4,29)

Cov(X,Z)=EXZ-EX*EZ=EX(-5X+Y)-EX*E(-5X+Y)= -5EX²+EXY+5(EX)²-EX*EY=-5(EX²-(EX)²)+

+EXY-EX*EY= -5DX = -5

ρ=-5/(5,385165) = -0,928477

Часть 2

Моделирование выборок и вычисление их выборочных характеристик.

Кумулянты

3.

Описательные статистики (Таблица данных2)
	Среднее	Медиана	Мода	Частота	Нижняя	Верхняя	Дисперс.	Асимметрия	Эксцесс
normal(1;1)	1,014807	1,060031	Множест.	1	0,334122	1,618833	1,09932	-0,111124	-0,20175
Lognorm(1;1)	3,906403	2,501168	Множест.	1	1,113822	5,223418	17,51377	2,627121	10,09399
Chi2(3)	2,801205	2,073129	Множест.	1	1,121807	3,664703	5,57509	1,605291	2,96825
Student(3)	0,053001	0,100192	Множест.	1	-0,912964	0,802453	2,09034	-0,056374	5,63079
F(2;3)	2,164540	0,824703	Множест.	1	0,350341	1,941780	21,17676	4,852372	26,77213

4. Y~N (1; 2)

Описательные статистики (Таблица данных2)
	Среднее	Медиана	Мода	Частота	Нижняя	Верхняя	Дисперс.	Стд.откл.	Асимметрия	Эксцесс
Y	0,783992	0,993997	Множест.	1	-0,459019	2,155781	4,617062	2,148735	-0,504283	0,419229

EY= 1

_y= 2

DY=4

5. Z= -5X+0,9Y

X~N (1,1), Y~N (1, 2)

Описательные статистики (Таблица данных2)
	Среднее	Дисперс.
Z	-4,85207	26,50079

EZ= - 4,1, DZ= 28,24

Корреляции
	Z
normal(1;1)	0,08

7.

Описательные статистики
	Среднее	Медиана	Мода	Частота	Нижняя	Верхняя	Дисперс.	Асимметрия	Эксцесс
normal(1;1)	1,01481	1,06003	Множест.	1	0,33412	1,618833	1,09932	-0,111124	-0,20175
Lognorm(1;1)	3,90640	2,50117	Множест.	1	1,11382	5,223418	17,51377	2,627121	10,09399
Chi2(3)	2,80120	2,07313	Множест.	1	1,12181	3,664703	5,57509	1,605291	2,96825
Student(3)	0,05300	0,10019	Множест.	1	-0,91296	0,802453	2,09034	-0,056374	5,63079
F(2;3)	2,16454	0,82470	Множест.	1	0,35034	1,941780	21,17676	4,852372	26,77213
Y	0,78399	0,99400	Множест.	1	-0,45902	2,155781	4,61706	-0,504283	0,41923
Z	-4,85207	-5,17842	Множест.	1	-8,21706	-0,795309	26,50079	0,045599	-0,26784