Возникновение и развитие математической статистики

Первые исследования в области математической статистики встречаются у Д.Бернулли и Эйлера в связи с исследованием оценок, построенных по статистическим данным. Ряд основных понятий математической статистики был введен Лапласом, Лежандром и Гауссом. В конце 19 – начале 20 века большой вклад в развитие математической статистики внесли Гальтон, Пирсон, затем Фишер, Нейман, Крамер. Формальное описание математической статистики в терминах теории статистических решений дал Вальд. Среди российских ученых наибольший вклад в развитие математической статистики внесли Марков, Романовский, Колмогоров, Смирнов, Слуцкий, Большев.

Приложения математической статистики

Априорные сведения, – т. е. доопытные, имеющиеся до проведения опыта, до получения исследуемых статистических данных и, следовательно, не основанные на них, сведения. Часто априорные сведения также извлечены из ( предшест-вующих) статистических данных.

Возможность и степень глубины применения методов математической статистики обусловлена, во многом, априорными сведениями (предположениями) о природе статистических данных. Наиболее полно методы математической статистики применяются в том случае, когда априорные сведения свидетельствуют о наличии статистической закономерности в данных, т.е. можно считать, что статистические данные получены соответствии с некоторой вероятностной моделью. Практически важными примерами таких ситуаций являются статистические задачи в теории азартных игр и лотерей, задачи обработки результатов научных и технических измерений, задачи контроля качества продукции, задачи оценки надежности технических систем и программного обеспечения, статистические задачи теории связи и телекоммуникаций, статистический анализ транспортных потоков, некоторые задачи криптографии и теории защиты информации, некоторые демографические, социологические и экономические задачи, исследование факторов риска в медицине и экологии, статистические задачи в теории страхования. В этом случае теория позволяет предложить обоснованные, и часто, оптимальные в некотором смысле, методы обработки статистических данных, оценить точность и достоверность полученных выводов, прогнозов и решений.

Много практических задач нельзя считать полностью соответствующими вероятностным моделям. Это в частности, задачи прогнозирования экономических показателей (котировок акций, курсов валют, индексов и т.п.). Предположение о наличии статистической закономерности в данных для таких задач не является очевидным или не может быть обосновано теоретически. Применение методов математической статистики для обработки таких данных возможно, но формальное использование утверждений, полученных в строгих предположениях конкретных вероятностных моделей, для оценки точности и достоверности полученных выводов, недопустимо. В этих случаях степень доверия к выводам должна определяться исходя из других соображений.

Общая статистическая модель

Определение.

Назовем общей статистической моделью следующий математический объект

где - измеримое пространство,- некоторое семейство вероятностных мер на.

В случае, когда семейство состоит из одной вероятностной меры, статистическая модель превращается в вероятностное пространство

Одной из основных задач математической статистики является задача разумного выбора меры из семействана основании наблюдения значения, произошедшего в опыте, произведенном в соответствии с моделью. При этом результат опыта (наблюдение)известен, относительно вероятностной мерыизвестно лишь, что

В данной модели представляет собой статистические данные, семейство- априорные сведения.

Пример.

Рассмотрим опыт, состоящий в бросании несимметричной монеты 1 раз.

Тогда ,(единица интерпретируется как выпадение монеты гербом вверх)

Обозначим - вероятность выпадения монеты гербом вверх,-вероятность на, соответствующую вероятности выпадения гербом вверх.

Предположим, что семейство состоит из двух вероятностных мери, тогда следующий способ выбора вероятностной меры в зависимости от значениябудет разумным:

Если , то выбираем

Если , то выбираем

Разумность данного способа выбора состоит в том, что при его применении мы никогда не ошибемся.

Предположим теперь, что семейство состоит из двух вероятностных мери, тогда следующий способ выбора вероятностной меры в зависимости от значениятакже будет разумным:

Если , то выбираем

Если , то выбираем

Разумность данного способа выбора состоит в том, что правильное решение принимается с вероятностью 0,9 (вероятность ошибки 0,1) независимо от того, какая в вероятностная мера реализуется в эксперименте. Три оставшихся способа выбора

2)Если , то выбираем

Если , то выбираем

3) Всегда выбираем

4) Всегда выбираем

имеют максимальную вероятность ошибки больше, либо равную 0,9

Если семейство состоит из двух вероятностных мери, тогда разумность способа выбора:

если , то выбираем

если , то выбираем

представляется сомнительной, потому что вероятность ошибки не меньше 0,89. Более того, три оставшихся способа выбора имеют еще большие максимальные вероятности ошибок. В этом случае содержательные выводы о по наблюдениюсделать невозможно, т.е. представленных статистических данных для решения задачи недостаточно.

Данный пример показывает, что, даже в простейшем случае, абсолютно достоверные выводы на основании статистических данных сделать, вообще говоря, невозможно.

Математическая статистика предлагает критерии качества выводов, позволяющие выбрать разумный или даже оптимальный, в некотором строго определенном смысле, способ обработки и интерпретации данных, установить точность и достоверность выводов, определить объемы статистических данных, необходимые для решения задачи с заданной точностью и достоверностью