Проверка двух простых гипотез

Если обе гипотезы простые, т.е. и, содержат по одной вероятностной мере, соответственно,и, то естественной функцией потерь является следующая

т.е. потери равны нулю, если ошибки нет, и равны единице, если ошибка есть.

Ошибка

,

традиционно называется ошибка первого рода

Ошибка

,

называется ошибка второго рода

Функция риска принимает для каждого критерия два значения

и

которые называются вероятностями ошибки первого и второго рода, соответственно. Величину называют такжеобъемомилиуровнемзначимостикритерия, величину-мощностьюкритерия. Наиболее просто получить решение задачи различения двух простых гипотез в байесовской постановке.

Байесовский подход

Пусть гипотезы ипростые и имеют априорные вероятностиисоответственно. Тогда байесовский риск решения

Выбор

очевидно, минимизирует байесовский риск. Таким образом, решающее правило байесовского критерия имеет вид

Наиболее мощный критерий. Лемма Неймана- Пирсона

Любое множество такое, чтоопределяет некоторый стастистический критерий, имеющий вероятность ошибки 1-ого рода.

Критерий , имеющий наименьшую вероятность ошибки второго рода среди всех таких критериев, называется наиболее мощным критерием ( у него наибольшая мощность)

Определение.

Критерий называется наиболее мощным критерием объема, если

Следующая теорема содержит достаточные условия существования наиболее мощного критерия.

Теорема (Лемма Неймана-Пирсона)

Пусть для некоторого существуеттакое , что

Тогда критерий с критической областью

является наиболее мощным критерием объема

Доказательство.

Критерий с критической областью

очевидно является байесовским критерием соответствующим априорному распределению с таким :

Тогда, так как

учитывая, что

получаем, что

Доказательство завершено.

Замечание.

Если распределение случайной величины непрерывно, то наиболее мощный критерий существует для любого.

Пример.

Пусть вектор данных представляет собой выборку из распределения.

Рассмотрим две простые гипотезы относительно действительного параметра

Положим для определенности, что

Тогда наиболее мощный критерий будет иметь критическую область

где определяется из уравнения

Заметим, что критическое множество в данном примере одно и то же для всех альтернатив вида

где _.

Проверка сложных гипотез

В практических задачах часто встречается случай, когда одна или обе гипотезы не являются простыми, например,

Поиск оптимального критерия заданного объема в этом случае, вообще говоря, более сложен.

Равномерно наиболее мощный критерий.

Определение.

Критерий называется равномерно наиболее мощным критерием объемадля проверкипротив, если

для всех

Комментарий к предыдущему примеру.

Критерий , построенный в предыдущем примере, очевидно, является равномерно наиболее мощным, так как он наиболее мощный против любой альтернативы из, его критическая область не зависит от альтернативы и следовательно одна и таже для всех. Обобщая этот пример, можно получить следующее утверждение.

Утверждение.

Пусть существует такая статистика , что прислучайная величинаявляется монотонной функцией. Тогда наиболее мощный критерий проверкипротив любой простой альтернативы избудет равномерно наиболее мощным критерием проверкипротив.

Доказательство.

См. комментарий к предыдущему примеру.

Доказательство завершено.

Семейства плотностей, обладающие указанным свойством, называются семействами с монотонным отношением правдоподобия.