Домашнее задание

Задача 1

Используя метод опорных точек, аппроксимируйте уравнением регрессии следующие экспериментальные точки.

х	1,0	2,0	3,0	4,0	5,0	6,0	7,0	8,0	9,0	10,0
y	1,1	2,9	1,6	3,1	3,9	4,4	4,1	5,9	5,4	5,1

Задача 2

Используя метод опорных точек, аппроксимируйте уравнением регрессии следующие экспериментальные точки.

х	1,0	2,0	3,0	4,0	5,0	6,0	7,0	8,0	9,0
y	1,0	2,0	3,0	3,5	3,0	4,5	4,5	4,7	4,5

Задача 3

Используя метод опорных точек, аппроксимируйте уравнением регрессии следующие экспериментальные точки.

х	1,0	2,0	3,0	4,0	5,0	6,0	7,0	8,0	9,0	10,0
y	0,3	0,5	0,7	2,3	1,8	2,8	4,4	4,6	5,1	5,7

Задача 4

Используя метод опорных точек, аппроксимируйте уравнением регрессии следующие экспериментальные точки.

х	1,0	2,0	3,0	4,0	5,0	6,0	7,0	8,0	9,0	10,0
y	7,8	6,7	5,2	4,2	3,6	3,6	2,1	1,9	0,5	0,4

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 7

Тема: Аппроксимация результатов эксперимента. Метод наименьших квадратов

Рассматривается выборка двух взаимосвязанных дискретных случайных величин X и Y. Пара , где соответствует i-й точке (i-му опыту). Здесь n – объем парной выборки.

Для удобства последующего использования табличные (опытные) данные моделируют некоторой функцией, которую называют уравнением регрессии

.

Процедура построения регрессионной (статистической) модели предусматривает, во-первых, выбор функции .

В качестве функции чаще всего используют полином

(1)

где - коэффициенты регресии ; k- порядок полинома.

На втором этапе построения модели определяют коэффициенты регрессии . Это осуществляется путем аппроксимации опытных точек.

Уравнение регрессии позволяет вычислить ожидаемое значение функции Y для опытных значений :

(2)

Разность между опытным значением и ожидаемым значением составляет ошибку или погрешность функции:

(3)

Аппроксимация может быть произведена при разных требованиях к величине . Наиболее распространенным является требование минимизации суммы квадратов отклонений опытных точек от линии регрессии. Это требование называют принципом Лежандра, согласно которому коэффициенты регрессии должны быть подобраны так, чтобы сумма

(4)

принимала минимальное значение.

Метод определения коэффициентов регрессии по принципу Лежандра называют методом наименьших квадратов.

Искомые коэффициенты регрессии находятся из решения системы уравнений:

или

Отсюда получается система нормальных уравнений:

(5)

В простейшем случае k = 1, то есть полинома первой степени, уравнение регрессии принимает вид

(1a)

Система (5) также упрощается:

(5a)

Относительно неизвестных коэффициентов уравнения (5a) являются линейными. Значения коэффициентов можно определить, например, по правилу Крамера:

(6)

где A - главный определитель системы уравнений (5a); и - дополнительные определители той же системы:

; (7a)

; (7б)

. (7c)

Коэффициенты регрессии уравнения (1a) могут быть определены также и геометрически (см. рис.1). Коэффициенту соответствует в масштабе отрезок ординаты, отсекаемый линией регрессии от начала координат, коэффициенту – тангенс угла наклона линии регрессии относительно положительного направления оси абсцисс.

Y

0 X

Рис.1. Аппроксимация опытных данных линейным уравнением

прямой регрессии