Домашнее задание

Задача 1

Определить среднее значение, дисперсию и среднеквадратичное выборки:

3,2	2,9	0,9	1,4	1,6	1,2	3,1	0,8	3,2	2,8
0,9	3,2	0,8	3,0	0,8	2,4	3,1	1,0	0,8	2,7

Задача 2

Определить среднее значение, дисперсию и среднеквадратичное выборки:

1,5	2,3	1,0	2,9	1,7	1,4	0,8	2,6	2,8	1,2
3,2	2,5	0,9	2,7	1,1	3,0	1,3	3,2	0,9	3,1

Задача 3

Определить среднее значение, дисперсию и среднеквадратичное выборки:

2,0	1,3	2,1	1,7	2,3	1,9	2,0	3,2	1,8	2,1
1,5	1,9	2,0	0,8	2,5	2,0	1,9	2,2	2,7	2,0

Задача 4

Определить среднее значение, дисперсию и среднеквадратичное выборки:

3,2	1,6	1,1	3,3	2,9	1,0	2,5	2,8	2,1	0,8
1,7	1,2	2,7	1,3	2,2	1,3	1,4	3,0	2,0	2,4

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 2

Тема: Оценка погрешности прямых измерений

Различные виды погрешностей (случайные или систематические) требуют использования различных приемов их оценки. Характеристики случайной составляющей погрешности прямого измерения определяются по результатам повторных измерений, проводимых одними и теми же средствами в одних и тех же условиях. Поскольку в большинстве случаев оправдано использование нормального закона распределения случайной погрешности, то остановимся на определении параметров, входящих именно в этот закон.

Дисперсия D{ } и среднеквадратичная погрешность отдельного измерения определяются с помощью выражений

; (1)

, (2)

здесь n – число измерений (объем выборки); х_i – результат i-го измерения; – среднее арифметическое результатов измерения, определяемое соотношением

. (3)

Доверительная вероятность Р для любого значения доверительного интервала , выраженного в долях среднеквадратичной погрешности , может быть подсчитана по выражению:

, (4)

здесь , где – значение доверительного интервала.

Функция (4) называется нормированной функцией Лапласа. Для облегчения расчетов эта функция представлена таблицами, приведенными, в справочниках. Так доверительному интервалу , равному значению среднеквадратичной погрешности , соответствует доверительная вероятность 0,68; доверительному интервалу, равному 2, – доверительная вероятность 0,95; доверительному интервалу, равному 3, – доверительная вероятность 0,997.

Заметим, что расчеты с использованием выражений (1)-(4) предполагают проведение достаточно большого числа измерений (теоретически n ). На практике оценку точности приходится производить на основании ограниченного числа измерений. В этом случае выражения (1),(3) представляются в форме

; (5)

. (6)

Однако доверительная вероятность, соответствующая тому или иному значению доверительного интервала, определяется при этом не по выражению (4), а с помощью так называемого распределения Стьюдента (псевдоним английского математика У. Госсета). Обозначим доверительную вероятность в данном случае .

Таблица 1

N				n	
	0,68	0,95	0,997		0.68	0,95	0,997
2	1,9	12,7	454,6	10	1,1	2,3	4,3
3	1,3	4,3	24,4	20	1,0	2,1	3,5
4	1,2	3,2	10,5	30	1,0	2,0	3,2
5	1,1	2,8	7,3		1,0	2,0	3,0

Коэффициенты Стьюдента t_n, представляющие собой (так же как и величина ) значения доверительного интервала, выраженного в долях среднеквадратичной погрешности, приведены в табл. 1 для трех различных значений доверительной вероятности  и различного числа измерений n. При достаточно большом числе измерений n (n ) расчеты с использованием распределения Стьюдента и по выражению (4) приводят к одинаковым результатам. Более подробные таблицы коэффициентов Стьюдента приведены в справочной литературе.

Среднеквадратичная погрешность отдельного измерения _i характеризует точность применяемого способа измерения, но не точность полученного результата при многократных измерениях. Погрешность результата многократных измерений характеризуется среднеквадратичной погрешностью среднеарифметического :

. (7)

Доверительная вероятность, соответствующая доверительному интервалу результата многократных измерений, определяется также с использованием распределения Стьюдента, но доверительный интервал относится в этом случае к среднеквадратичной погрешности среднеарифметического.

Анализ выражения (7) позволяет сделать важный практический вывод: если точность результата измерения определяется случайной погрешностью, то повышение этой точности возможно в результате не только увеличения точности применяемого способа измерений, т.е. уменьшения , но и увеличения числа измерений n. Соотношение (7) позволяет также правильно выбрать необходимое число измерений. Очевидно, что для повышения точности результата есть смысл увеличивать число измерений лишь до тех пор, пока случайная составляющая погрешности является преобладающей. Дальнейшее увеличение числа измерений не будет приводить к заметному повышению точности результата измерения, поскольку преобладающей становится систематическая погрешность, значение которой от числа измерений не зависит.

Характеристики систематической составляющей погрешности прямого измерения могут быть определены либо с помощью более точных средств измерений, либо косвенным путем с использованием паспортных данных о характеристиках точности применяемых средств измерений. На практике применяется обычно второй путь, поскольку нецелесообразно использовать при измерении одной и той же величины в одинаковых условиях средства измерения различной точности.

При определении систематических погрешностей возникают две задачи: нахождение поправок и оценка диапазона изменения той составляющей систематической погрешности, точное значение которой определить не представляется возможным.

Поправки определяются в процессе поверки средств измерений. В дальнейшем результат измерения корректируется на значение поправки, поэтому фактически систематическая погрешность измерений определяется лишь составляющей, точное значение которой неизвестно. Эта составляющая, в свою очередь, складывается из неучтенной поправками части методической и инструментальной погрешностей, а также из субъективной погрешности и из погрешности определения самой поправки. Для определения результирующей систематической погрешности нужно оценить диапазон изменения всех этих составляющих (иногда с этой целью приходится использовать методы, которые изложены в следующем параграфе).

При нормальном законе распределения составляющих погрешностей выражение, позволяющее определить результирующую погрешность, имеет вид

. (8)

При использовании формулы (8) все значения _i должны быть выбраны при одной и той же доверительной вероятности. Этому же значению доверительной вероятности соответствует и результирующая погрешность.

При равномерном законе распределения составляющих погрешностей выражение для определения результирующей погрешности удобно представить в форме

. (9)

Здесь значения величин _i - выбираются при доверительной вероятности, равной единице. Численное значение константы k, входящей в формулу (9), зависит от доверительной вероятности Р, с которой требуется определить величину , а при Р > 0,99 еще и от числа слагаемых m. Для Р = 0,95 k  1, а при Р = 1,0

. (10)

После определения случайной и систематической составляющих погрешностей может быть найдена суммарная погрешность аналогично тому, как это делалось для различных составляющих систематической погрешности.

Если число составляющих погрешностей достаточно велико (практически m 5), то независимо от закона их распределения закон распределения суммарной погрешности можно считать нормальным. Этот вывод следует из так называемой центральной предельной теоремы Ляпунова, согласно которой сумма бесконечно большого числа бесконечно малых случайных величин с любыми распределениями дает нормальное распределение.