2

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Методические указания к практическим занятиям

по дисциплине

ТЕОРИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

Казань 2008

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 1

Тема: Показатели точности и формы представления результатов эксперимент

Под точностью эксперимента понимают его свойство, отражающее близость результатов к истинному значению искомой величины. Точность результатов эксперимента обычно характеризуют посредством их абсолютной или относительной погрешностей. Точность тем выше, чем меньшее значение имеют погрешности.

Результат эксперимента не может быть определен абсолютно точно, и значение его, равно как и значение погрешности являются случайными величинами. Полностью свойства случайной величины ξ, в частности, результата эксперимента х или погрешности Δ = х – х_ист, описываются законом распределения вероятностей, свойственным для данной случайной величины. Закон распределения вероятностей может быть выражен либо интегральной функцией F(ξ) распределения, либо дифференциальной функцией распределения f(ξ), называемой еще плотностью распределения. Эти функции распределения представляют в виде математической формулы с указанием численных значений параметров либо в табличной или графической формах.

Что же такое вероятность и закон распределения вероятностей? В теории эксперимента наиболее приемлемым является статистическое определение вероятности, по которому вероятностью P события ξ называют предел отношения числа испытаний n_ξ, при котором произошло это событие к общему числу испытаний n при неограниченном его увеличении:

(1)

Как видно из соотношения (1), значение вероятности может изменяться в пределах от 0 до 1.

Интегральной функцией распределения называют функцию F(ξ), определяющую вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение меньше некоторого фиксированного значения ξ₀

F(ξ) = Р{ ξ < ξ ₀}.

Для непрерывной случайной величины график интегральной функции распределения обычно представляет собой непрерывную неубывающую кривую, начинающуюся от нуля при ξ → − ∞, и асимптотически приближающуюся к единице при ξ → + ∞ (рис.1).

F (ξ)

1,0

0

ξ

Более наглядным является описание свойств случайной величины с помощью дифференциальной функции распределения f(ξ). Дифференциальная функция распределения является функцией, производной от интегральной по своему аргументу:

f(ξ) = (2)

От дифференциальной функции распределения легко перейти к интегральной путем интегрирования первой:

F(ξ) = (3)

Поскольку F(ξ) = 1 при ξ → + ∞ , то справедливо равенство:

= 1,

т

f(ξ)

о есть площадь, заключённая под кривой дифференциальной функции равна 1 (рис.2).

ξ

Размерность дифференциальной функции распределения (плотности вероятности) обратна размерности величины ξ.

Часто для характеристики случайной величины используют не сами законы распределения, а некоторые числовые параметры.

Важнейшим параметром, характеризующим случайную величину ξ, является её математическое ожидание, называемое ещё центром распределения и обозначаемое М{ξ} или . Для непрерывной случайной величины, то есть величины, принимающей любое значение из натурального числового ряда в пределах диапазона своего изменения, математическое ожидание определяется выражением:

М{ξ} = (4)

Для дискретной случайной величины то есть величины, принимающей в пределах диапазона своего изменения только строго определённые значения, например, только целые числа, математическое ожидание определяется уравнением:

М{ξ} = (5)

Другими параметрами, характеризующими свойства случайной величины, в частности, степень её рассеяния вокруг центра распределения, являются дисперсия D{ξ} и среднее квадратичное отклонение σ{ξ}, называемое также средней квадратичной погрешностью. Дисперсией случайной величины D{ξ} называют математическое ожидание квадратов отклонений случайной величины от центра распределения М{ξ} = .

D{ξ} = М{( ξ - )²} (6)

Среднее квадратичное отклонение определяется как корень квадратный из дисперсии:

σ{ξ} = (7)

Выражение (6) для непрерывной и дискретной случайной величин может быть раскрыто следующим образом:

D{ξ} = ( ξ - )²∙f(ξ)∙dξ (8)

D{ξ} = (9)

Расчеты, проводимые по формулам 4, 5, 8 и 9, предполагают проведение достаточно большого числа измерений (теоретически объем выборки n → ∞.) На практике число измерений приходится ограничивать, поэтому вместо математического ожидания и дисперсии используются их статистические оценки – выборочное среднее (10), выборочная дисперсия (11) и выборочное среднее квадратичное отклонение (12):

. (10)

; (11)

; (12)

Выборочные дисперсия и среднее квадратичное отклонение характеризуют точность применяемого способа измерений, но не оценивают точность результата, полученного при многократных измерениях. Для характеристики точности многократных измерений пользуются средней квадратичной погрешностью среднего арифметического S .

S = = (12)

Анализ выражения (12) показывает, что увеличение числа измерений в n раз позволяет в раз увеличить точность измерений. Это соотношение позволяет также правильно выбрать необходимое число измерений.

При анализе случайных погрешностей часто оказывается оправданным использование так называемого нормального закона распределения. Интегральная и дифференциальная функции для нормального закона распределения имеют вид:

(13)

(14)

Систематическая погрешность имеет не случайный характер, но реализация того или иного значения систематической погрешности может рассматриваться как случайное явление. Поэтому выше описанные показатели точности могут быть использованы для характеристики и результатов, содержащих систематические погрешности. Однако характер погрешности должен учитываться также при выборе соответствующего закона распределения.

Наиболее часто для систематической погрешности применим закон равномерного распределения вероятностей. Значения дифференциальной функции равномерного распределения случайной величины в интервале [а, в] постоянны (рис. 3), а вне этого интервала равны нулю:

f(ξ)

c

а

в

ξ

Поэтому выражения для дифференциальной функции распределения могут быть записаны в виде:

f(ξ) = (15)

Величину с можно найти из условия, что площадь, заключённая между кривой распределения и осью абсцисс, равна 1:

с = (16)

Уравнение для интегральной функции распределения может быть найдено интегрированием дифференциальной функции распределения. До тех пор, пока

ξ < а, f(ξ) = 0.

В пределах интервала а - в

f(ξ) = (17)

Таким образом, интегральная функция растёт линейно со случайной погрешностью от f(ξ) = 0 при ξ = а до f(ξ) = 1 при ξ = в.

F(ξ)

1

ξ

а

в