Функция распределения обладает следующими свойствами:

1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0,1]: .

2. Функция распределения есть неубывающая функция: если х₂ > х₁.

3. Если все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (а;в), то F(x)=0 при х £ а и F(x)=1 при х ³ в.

Следствие 1. .

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.

Следствие 3. Если возможные значения случайной величины Х расположены на всей числовой оси, то F(x)=0, F(x)=1.

Определение. Плотностью распределения вероятностей называется функция .

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение на интервале , определяется по формуле:

Основные свойства плотности распределения:

1. Плотность распределения является неотрицательной функцией: f(x)³ 0.

2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах интегрирования по всей числовой оси равен единице: .

Следствие. Если все возможные значения случайной величины Х лежат внутри интервала (а, в), то .

Рассмотрим некоторые виды распределения непрерывной случайной величины.

1.Равномерный закон распределения – распределение, при котором на интервале возможных значений случайной величины плотность распределения не изменяется:

2. Показательный (экспоненциальный) закон распределения - распределение с параметром , если ее плотность вероятности имеет вид: .

3. Нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами а и , если ее плотность вероятности имеет вид: .

Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами а=0, σ =1 называется стандартным или нормированным. Плотность вероятностей нормированного распределения имеет вид: . Функция называется функцией Лапласа. Ее значения определяются по таблице.

Теорема. Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, равно параметру а этого закона, т.е. М(Х) = а, а ее дисперсия - ², т.е. D(Х) = ².

Вероятность того, что нормальная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу определяется по формуле

, где Ф (х) - функция Лапласа.

Вероятность того, что нормальная СВ отклонится от её математического ожидания меньше, чем равна .

Определения числовых характеристик дискретных случайных величин распространяются и на непрерывные величины. Разница состоит в том, что в формулах вместо сумм берутся их интегральные аналоги:

,

Вопросы для самопроверки:

1. Дайте определение непрерывной случайной величины.

2. Какие случайные величины называются непрерывными?

3. Что называется функцией распределения случайной величины?

4. Что называется плотностью распределения вероятностей случайной величины?

5. Какое распределение случайной величины называется равномерным?

6. Какое распределение случайной величины называется показательным?

7. Какое распределение случайной величины называется нормальным?

8. Как вычисляется математическое ожидание непрерывной случайной величины?

9. Как вычисляется дисперсия непрерывной случайной величины?

Тема №5. Элементы математической статистики

Цель лекции: Познакомить студентов с основными задачами и понятиями математической статистики.

Перечень вопросов, выносимых для рассмотрения:

1. Задачи математической статистики.

2. Основные понятия математической статистики.

3. Статистическое распределение выборки и его график.

4. Эмпирическая функция распределения ее свойства.

Первой задачей математической статистики является указание методов сбора и группировки статистических сведений, которые получены в результате экспериментов или наблюдений. Вторая задача – это разработка методов анализа статистических данных: оценки неизвестных вероятности события, а также функции и параметров распределения; оценка зависимости случайной величины от других случайных величин; проверка статистических гипотез о виде и величинах параметров неизвестного распределения.

На практике сплошное исследование проводят редко. Если совокупность содержит большое число объектов, то сплошное исследование нереально. В таком случае из всей совокупности случайно отбирают ограниченное число объектов и подвергают их исследованию.

В основе статистических исследованиц лежит выборочный метод, суть которого заключается в следующем: из всего множества объектов, подлежащих исследованию отбирается какая-то ее часть, которая затем подвергается непосредственному исследованию. Множество объектов, из которых производится выборка называется генеральной совокупностью. Выборочной совокупностью (выборкой) называется множество объектов, отобранных из генеральной совокупности. Число объектов в совокупности называется ее объемом.

Пример. Пусть из 2000 изделий отобрано для обследования 100 изделий. Тогда объем генеральной совокупности N =2000, а объем выборки n =100.

Существуют различные способы отбора:

- простой случайный, при котором объекты извлекают по одному из всей генеральной совокупности; такой отбор можно производить с использованием таблицы случайных чисел или по принципу «лотореи»;

- механический - генеральную совокупность делят на число групп, равное объему выборки, с последующим отбором из каждой группы по одному объекту ( по принципу «каждый пятый»,»каждый десятый» и т.д.);

- типический - генеральная совокупность делится на части и из каждой части случайным образом отбираются один или несколько объектов;

- серийный – после деления генеральной совокупности на части отбираются одна или несколько частей, которые подвергаются исследованию. Если после исследования объект из выборки возвращается в генеральную совокупность, то такая выборка называется повторной, если объект не возвращается в генеральную совокупность, то выборка называется бесповторной.

Наблюдаемые значения х_i называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке – вариационным рядом. Числа наблюдений называют частотами.

Статистическим распределением выборки называют закон, устанавливающий соответствие между вариантами и их частотами или относительными частотами.

В целях наглядности строят различные графики статистического распределения.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (х₁, n₁), (х₂, n₂), . . . , (х_k, n_k).

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (х₁, W₁), (х₂, W ₂), . . . , (х_k, W _k).

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению .

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию , определяющую для каждого значения х относительную частоту события X < x: или

, где - число вариант, меньших х, n – объем выборки.

Эмпирическая функция распределения обладает следующими свойствами:

1. Значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0,1]: ;

2. - неубывающая функция;

3. Если х₁ – наименьшая варианта, то =0 при х £ х₁; если х_k наибольшая варианта, то =1 при х > х_k..

Вопросы для самопроверки:

1. Что называется генеральной совокупностью?

2. Что называется выборочной совокупностью?

3. Какие способы отбора существуют и как они осуществляются?

4. Какая выборка называется репрезентативной?

5. Что называется вариационным рядом?

6. Что называется статистическим распределением выборки?

7. Что называется полигоном частот?

8. Что называется гистограммой полигоном частот?

9. Что называется эмпирической функцией распределения и каковы ее свойства?

Тема №6. Статистические оценки параметров распределения

Цель лекции: Ввести понятие оценки неизвестных параметров распределения с помощью характеристик выборки.

Перечень вопросов, выносимых для рассмотрения:

1. Статистические оценки параметров и требования к ним.

2. Числовые характеристики выборки и методы их вычисления.

3. Точечные и интервальные оценки параметров распределения.

Значения количественного признака в выборке х₁ , х₂, …, х_k в выборке можно рассматривать как независимые случайные величины. В таком случае нахождение статистической оценки неизвестного параметра теоретического распределения означает отыскание функции от наблюдаемых случайных величин, которая и даст нам приближенное значение искомого параметра.

Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин.

Для того чтобы статистические оценки давали «хорошие» приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определенным требованиям.

Пусть есть статистическая оценка неизвестного параметра теоретического распределения. К ней предъявляются требования несмещенности,эффективности и состоятельности.

Несмещенной называют статистическую оценку , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки, т.е. М( )=

Смещенной называют статистическую оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру т.е. М( )≠ .

Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объеме выборки n) имеет наименьшую возможную дисперсию.

Состоятельной называют статистическую оценку, которая при стремится по вероятности к оцениваемому параметру:

Теперь укажем виды оценок числовых характеристик. Прежде всего это средние. Пусть изучается генеральная совокупность относительно количественного признака Х.

Генеральной средней называют среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности: . Выборочной средней называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности: .

Если значения признака в выборке имеют соответственно частоты , то последнюю формулу можно переписать в виде

= .

Выборочная средняя является несмещенной оценкой генеральной средней.

Введем в рассмотрение величины, характеризующие отклонение значений количественного признака Х от своего среднего значения. Генеральной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака генеральной совокупности от их среднего значения :

Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения : = .

Если значения признака х₁ , х₂, …, х_k имеют соответственно частоты , то последнюю формулу можно переписать в виде = .

Выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии. Несмещенной оценкой генеральной дисперсии будет исправленная выборочная дисперсия:

Выборочным средним квадратическим отклонением называют квадратный корень из выборочной дисперсии: = .

Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. Все оценки рассмотренные выше точечные.

Интервальной оценкой называется оценка неизвестного параметра, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Доверительным интервалом называется интервал, который с заданной надежностью покрывает неизвестный параметр.

Доверительный интервал для математического ожидания а нормального распределения при известном среднем квадратическом отклонении есть интервал < < + , где t – значение аргумента функции Лапласа , при котором .