Ответы на билеты за 2008 год (doc) / Билет5

Билет 5

1) Теорема Эйлера об эйлеровых графах

Связный граф является эйлеровым тогда и только тогда, когда степени всех его вершин четны.

2) Условие Эйлеровости:

Всякий сильно связный ориентированный граф, для каждой вершины х которого выполняется равенство d0(x)(выходная степень)=di(x)(входная степень) является ориентированно эйлеровым

Доказательство происходит по аналогии соответствующей классической части Т. Эйлера

Применим эту теорему что бы построить так называемую последовательность Де-Брейна

Пусть имеется алфавит состоящий из слов . Словами в этом алфавите называют любые конечные последовательности его символов(порядок символов существенен)

Длиной слова называют числом к.

Слово называют подсловом w, если .

Слово w в алфавите А называют универсальным для всех слов алфавита имеющих длину k, если каждый из них входит в слово в качестве подслова.

Существование универсальных слов при любых количествах n и k очевидно.

Пусть w универсален для свло k в алфавите A /(n,k)- универсальны.

Длину слова w легко оценить снизу

Число слов длины , поэтому min длина универсального слова есть

На окружность оценка понижается

Всякое универсальное слово длины называют последовательностью Де-Брейна

Существование (n,k) последовательности Де-Брейна для любых n и k можно провести путем построения подходящего ориентированного графа. Пусть n и k фиксированы. Нужный граф будет содержать дуг и вершин. Соответственно дуги будут называться словами длины k в алфавите А, а вершины словами длины k-1.

Пусть имеется слово . Дуга с этим называнием начинается и заканчивается

Мы полностью описали строение нужного графа. Проверим, что он удовлетворяет достаточным условиям эйлеровости. Возьмем вершину с названием w. Подсчитаем ее выходную степень. Она равно n d0(w)=n, т.к. w можно однобуквенно продолжить одной из букв алфавита. Выходная степень также n di(w)=n

Докажем теперь что этот граф сильно связен(из вершины в другую есть путь).

Пусть дана произвольная вершина и . Построим путь ведущий из w1 в w2. Для этого построим слово w1w2==

Нужный путь состоит из дуг.

Для любых вершин w1 и w2 построенного нами пути имеют длину k-1(это не значит, что других путей из w1 в w2 нет). Значит в построенном графе имеется ориентированный эйлеров цикл. Но тогда, выписывая должным образом названия всех дуг этого пути, мы и получим n.k последовательность Де Брейна