
Ответы на билеты за 2008 год (doc) / Билет5
.docБилет 5
1) Теорема Эйлера об эйлеровых графах
Связный граф является эйлеровым тогда и только тогда, когда степени всех его вершин четны.
2) Условие Эйлеровости:
Всякий сильно связный ориентированный граф, для каждой вершины х которого выполняется равенство d0(x)(выходная степень)=di(x)(входная степень) является ориентированно эйлеровым
Доказательство происходит по аналогии соответствующей классической части Т. Эйлера
Применим эту теорему что бы построить так называемую последовательность Де-Брейна
Пусть имеется алфавит состоящий из слов
.
Словами в этом алфавите называют любые
конечные последовательности его
символов(порядок символов существенен)
Длиной слова
называют
числом к.
Слово
называют подсловом w, если
.
Слово w в алфавите А называют универсальным для всех слов алфавита имеющих длину k, если каждый из них входит в слово в качестве подслова.
Существование универсальных слов при любых количествах n и k очевидно.
Пусть w универсален для свло k в алфавите A /(n,k)- универсальны.
Длину слова w легко оценить
снизу
Число слов длины
,
поэтому min длина
универсального слова есть
На окружность оценка понижается
Всякое
универсальное слово длины
называют
последовательностью Де-Брейна
Существование (n,k)
последовательности Де-Брейна для любых
n и k можно
провести путем построения подходящего
ориентированного графа. Пусть n
и k фиксированы. Нужный
граф будет содержать
дуг и
вершин. Соответственно дуги будут
называться словами длины k
в алфавите А, а вершины словами длины
k-1.
Пусть имеется слово
.
Дуга с этим называнием начинается
и заканчивается
Мы полностью описали строение нужного графа. Проверим, что он удовлетворяет достаточным условиям эйлеровости. Возьмем вершину с названием w. Подсчитаем ее выходную степень. Она равно n d0(w)=n, т.к. w можно однобуквенно продолжить одной из букв алфавита. Выходная степень также n di(w)=n
Докажем теперь что этот граф сильно связен(из вершины в другую есть путь).
Пусть дана произвольная вершина
и
.
Построим путь ведущий из w1
в w2. Для этого построим
слово w1w2=
=
Нужный путь состоит из дуг.
Для любых вершин w1 и w2 построенного нами пути имеют длину k-1(это не значит, что других путей из w1 в w2 нет). Значит в построенном графе имеется ориентированный эйлеров цикл. Но тогда, выписывая должным образом названия всех дуг этого пути, мы и получим n.k последовательность Де Брейна