Ответы на билеты за 2008 год (doc) / Билет4

Билет №4. Дайте определение Эйлерова цикла. Докажите теорему Эйлера об Эйлеровых циклах.

Пусть G — неориентированный граф. Цикл в графе G называется Эйлеровым, если он проходит через все рёбра этого графа. Причём через каждое ребро ровно один раз.

Граф G называется Эйлеровым, если в нём имеется Эйлеров цикл.

Теорема Эйлера от Эйлеровых графах:

Связный граф явл. Эйлеровым тогда и только тогда, когда степени всех его вершин чётны.

1. Пусть дано, что G — Эйлеров граф m. Ввиду его связности Эйлеров цикл проходит через все вершины графа. Зафиксируем нек верш. x. Очевидно, что не умоляя общности, вершину x можно считать начальной в имеющ. в графе Эйлеровом цикле. Мы выходим из этой вершины по Эйлерову (далее ЭЙ) циклу по первому ребру. В какой-то момент наш цикл возвращ в x по ребру, которое будем считать вторым. Если наш цикл продолжается, то след «выходное» ребро возврата счит 4-ым и т.д. Поскольку в ЭЙ цикле всякий вход-выход продолжает два ребра, проходящие через x, заключ, что d(x) — чётно.

2. Пусть наоборот: степени всех вершин связ графа G — чётны. Построим в нём ЭЙ цикл. Док-во проводиться индукцией по числу рёбер графа. Простейший граф рассматр типа имеет вид (треугольника, рисовать не стал). Он, очевидно, ЭЙ. Рассмотрим граф требуемого вида с большим числом рёбер. Ввиду связности этого графа степени всех его вершин больше или равны двум (d(x)>=2). Возьмём какую-дибо вершину и какое-либо ребро, иск из них (рис: отрезок, на концах x0 и x1). Возьмём из x0 по этому ребру. Оно прив. в вершину x1, т.к. d(x1)>=2. Возьмём из x1 по новому ребру (рис: тот же, только от x1 идёт новым отрезок) и продолжаем эту процедуру до тех пор, пока возник. при этом путь не замкнётся. Мы получим, тем самым, цикл в заданном графе, в котором каждое ребро проходится единожды. Если этот цикл проходит через все рёбра графа, то он явл ЭЙ, и Т доказана. Но это необязательно так: (слева-посередине x0)

Удалим из данного графа все рёбра построенного нами цикла. В ост графе число рёбер меньше, чем в исх. Если граф-остаток явл связным, то в нём имеется ЭЙ цикл. Однако, ост. граф не обязан быть связным. Тогда он распадается на нект. число «связных компонентов», т.е. таких подграфов, каждый из которых связен и не допускает расширения, которое тоже бы было связным (в моём примере такое рас. одно). В каждой из этих компонет степени всех вершин чётны, поскольку для одних вершин сохр. первоначальные степени, имевш. в исходном графе. А для других исх. степени могут лишь уменьшаться и при этом на чётное число.

Значит для каждой из рассматриваемых компонт выполнено условие Т ЭЙ, и поэтому в каждой из этих компонент имеется ЭЙ цикл.

Нанизывая ЭЙ циклы комонент на первонач построенный «безповторный» цикл, получим Эйлеров цикл всего исх. графа, и Т доказана.

ИЛИ

Необходимость Требуется доказать, что в любом эйлеровом графе степени всех вершин – чётные.

Пусть по некоторой вершине v цикл проходит k раз. Но так как перед этой вершиной и после неё цикл должен проходить по инцидентным ей рёбрам, то количество рёбер, инцидентных данной вершине, по которым проходит цикл – 2 k. Так как цикл эйлеров – рёбер, по которым цикл не проходит нет. Значит 2 k – степень вершины v.

Достаточность Требуется доказать, что если в связном графе степени всех вершин – чётные, то в графе существует эйлеров цикл. В ходе доказательства мы дадим алгоритм построения такого цикла.

Начнём с произвольной вершины v и будем строить из неё цепь, пока есть возможность её продолжить. Пусть в какой-то момент построения мы находимся в вершине u (не совпадающей с v). Тогда цепь, которую мы построили, проходит по нечётному числу рёбер, инцидентных данной вершине. Степень вершины u чётная, следовательно, есть хотя бы одно ребро, инцидентное вершине u, по которому цепь не прошла – значит её можно продолжить. Следовательно, цепь может закончится только в вершине v. Получим цикл.

Если данный цикл прошёл не по всем рёбрам графа, то ``разорвём'' цикл в вершине w, где к нему примыкает не пройденное ребро^* и будем двигаться дальше по новым рёбрам. Рассуждая также как и выше (относительно вершины v), заключаем, что мы обязательно вернёмся в вершину w. Далее к маршруту присоединяем свободный конец разорванного маршрута – снова получим цикл. Присоединяя таким образом одно ребро за другим, мы и получим эйлеров цикл.