34

2.1. Метод пассивного поиска

Возьмем число h>0 (шаг поиска), такое, что , где k > 1  целое число. Будем вычислять значение функции по формуле:

(2.2)

Из полученных значений выберем наименьшее:

. (2.3)

Тогда по критериям 1 и 2 можно утверждать, что точка локального минимума находится на отрезке , где

. (2.4)

Таким образом, минимум локализуется на промежутке длины не более 2h и точка – наилучшее приближение локального минимума среди всех на . (При необходимости можно продолжить локализацию функции на отрезке с шагом h₁ < h ).

2.1.1. Пример поиска локального минимума функции методом пассивного поиска

Для функции на отрезке проведем пассивный поиск с шагом h = 1. Для этого по формуле (2.2) составим таблицу значений данной функции (табл. 2.1) с погрешностью 0.01 и построим ее график (рис.2.3).

Таблица 2.1.

	- 5	- 4	- 3	- 2	- 1	0	1	2	3	4	5
	28.41	-5.40	-3.91	1.40	2.72	1.0	0.37	6.14	24.05	60.02	120.01

И з таблицы и графика (рис.2.3) видно, что на отрезке , на интервалах (–5. –3) и (0. 2) имеются две точки локального минимума: и и соответствующие им локализующие тройки: {–5, –4, –3} и {0, 1, 2}, но абсолютный минимум достигается только в одной из них – при = –4.

В качестве подтверждения сказанному, проведем традиционный математический анализ данной функции по условиям (1.8), (1.9). Для этого вычислим первую и вторую производные функции в окрестности точки : . Так как , а и при всех x>0 (выполнено условие (1.9)), то на (0. 2) уравнение имеет единственное решение (стационарную точку функции по (1.8)), которая и является точкой минимума на . Аналогичные вычисления в окрестности точки определят единственное решение на (–5. –3). Поскольку на (–3, 0) будет определена точка максимума ,то точка является точкой минимума и на . А так как других точек минимума на нет, то, исходя из того, что , можно сделать вывод  в точке достигается глобальный минимум функции на отрезке .

2.1.2. Оценка погрешности метода пассивного поиска

Оценим погрешность метода на отрезке . Из условий (2.2)(2.4) следует, что . Значит, . Так как положение точки минимума на отрезке заранее неизвестно, то для справедлива лишь следующая гарантированная оценка погрешности:

. (2.5)

Величина, стоящая в правой части неравенства (2.5) станет минимальной, если точки расположить на отрезке равномерно в соответствии с формулой (2.2). В случае такого выбора пробных точек метод пассивного поиска называется оптимальным и гарантированная оценка погрешности для него равна:

. (2.6)

Поэтому вполне очевидно, что если бы для приведенного ранее примера потребовалось локализовать точку с погрешностью на интервале, например, , то для ее нахождения потребовалось бы провести вычисления в девяти пробных точках: -3.9, -3.8, ... ,-3.1. А для нахождения точки локального минимума на том же интервале, но с погрешностью , потребовало бы вычисления значений функции уже в 99 точках! Нетрудно заметить, что данный метод с уменьшением погрешности становится все менее и менее эффективным в смысле затрат машинного времени вычислений. Поэтому естественным становится вопрос о том, что если отрезок локализации уже найден, то как уменьшить эти затраты, не снижая при этом требований к точности вычислений минимума?