Вопрос 1 . Модели процессов конвективно-диффузионного переноса и превращения веществ

Уравнения конвективно-диффузионного переноса и превращения веществ (КДП и ПВ) широко используются для прогноза качества воды в водотоках, как для расчёта качества воды при постоянном или периодическом сбросе, так и при расчёте аварийных сбросов загрязняющих веществ.

Разберём частный случай, когда при постоянном во времени и по величине сбросе сточных вод в реку через некоторое время в потоке устанавливается стационарный режим распределения ингредиента в реке. В этом случае используется двухмерная стационарная модель КДП и ПВ, описываемая уравнением:

, (3.1)

с граничными условиями: при х = 0  C (0,y) и при у = 0  и при у = В  C/y = 0,

где С – концентрация вещества, мг/л; _х – средняя скорость течения, м/с; D_y – коэффициент поперечной диффузии, м²/c; k₁ – коэффициент био­химического окисления, 1/сут; F – интенсивность поступления примеси со дна или поверхности водоёма, мг/(л·с); х – продольная координата, м; y – поперечная координата, м.

Рассмотрим последовательность решения уравнений двухмерной стационарной модели КДП и ПВ с использованием системы MathCAD и создание программы для их решения.

Преобразуем уравнение (3.1) таким образом, чтобы расчёт можно было вести по непрерывной временной координате t (при этом нужно помнить, что теперь по оси Х при построении графиков будет откладываться время, однако, всегда можно сделать пересчёт на расстояние вдоль реки – L = _xt, где L – расстояние вдоль реки):

. (3.2) . (3.3)

Заменив в уравнении (3.3) производные аппроксимирующими выражениями, после приведения подобных членов получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений с конечно-разностной аппроксимацией по координате у:

. (3.4)

где j = 1, 2, 3, …n;

; .

где А и В – коэффициенты модели; h_y - расстояние между равноотстоящими точками по пространственной координате y; C_j – концентрация загрязняющего вещества в j-м сечении, n – количество расчётных элементов по ширине реки (по координате y).

После приведения подобных членов в системе уравнений (3.4) получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

…………………………………………..

…………………………………………..

, (3.5)

……………………………………………

……………………………………………

Теперь пространственная координата y представлена набором дискретно расположенных сечений. В конкретный момент времени концентрация в любом сечении выражается через концентрации в соседних сечениях. Можно варьировать числом элементов N, соответственно уменьшая или увеличивая h_y. Для первого сечения принимается, что C_j-1 =C_j (где j = 1); а для n-го сечения - C_j+1 = C_j (где j = n) (рис. 3.1).

Проведём моделирование для участка реки Вуокса. Параметры реки следующие: расход Q = 216 м³/с; средняя ширина участка реки В_ср.=2400 м; средняя глубина Н_ср.=3 м, а средняя скорость _ср.=0,3 м/с. Коэффициент, характеризующий самоочищение потока, равен k = 0,25 1/сут. = 2,893·10⁶ 1/c. Фоновая концентрация вещества в реке С_ф = 0,3 мг/л.

На левом берегу реки находится сосредоточенный водовыпуск, из которого производится регулярный сброс загрязняющих веществ. Концентрация сбрасываемого вещества С_ст = 25 мг/л, а удельный расход водовыпуска - q = 0,322 м³/c