Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Волгоградский государственный технический университет»

Факультет электроники и вычислительной техники

Кафедра «Системы автоматизированного проектирования и поискового конструирования»

Контрольная работа №1 по дискретной математике

Выполнил: студент

группы АУЗ-262

Усков Артём Петрович

Шифр 20122483

Проверил:

Садовникова Н.П.

Волгоград 2013

1. Множества и операции над ними

1) Для задач a-c определить результаты действий AB, AB, A\B, B\A, A+B.

a) A={x | x n}; B={x | x > m}

b) A={x | –k< x  n}; B={x | 0 x <m}

c) A={x | x  n}; B={x |m <x  3m}

2) Найти (A B) С, если A={x | –n x < n}; B={x | 0 x < n} и C={x | –m x <k}

Подставляем n=5; m=8; k=5.

Решение:

1. A={x | x 5}; B={x | x > 8}

AB={(- ;5];(8;+ )}

AB=

A\B={x|x A и x B}={x

B\A={x|x B и x A}={x|x

2. A={x | –5< x  5}; B={x | 0 x <8}

AB={x | –5< x 8};

AB={x | 0 x  5}

A\B={x|x }

B\A={x|x (5,8)}

3. A={x | x  5}; B={x |8 <x  24}

AB={x | x  5};

AB={x |8 <x  24}

A\B={x|x [5,8) и [24,+ 

B\A={x|x }=

2. (A B) С

A B={(- ;5];(8;+ )} и C={x | –8 x <5}, а следовательно

(A B) С={(- ;5];(8;+ )}

2. Теория графов

1. Задан неориентированный граф без петель из пяти вершин строками матрицы смежности в виде шестнадцатеричного числа, первая цифра – первая строка, вторая – вторая строка и т.д. Изобразите соответствующий граф и определите степени всех вершин, цикломатическое и хроматическое число. Постройте матрицу инциденций.

Вариант задания – последняя цифра в номере зачетной книжки – 3

Решение:

Переведем каждую цифру шестнадцатеричного числа в двоичное число:

B₁₆ = 1101; 3₁₆ = 0011; 3₁₆ =0011; 1₁₆ =0001

Матрицей смежности ребер неориентированного графа G называется квадратная матрица A*(G) = [a*ij] порядка q, элементы a*ij которой равны единице, если ребра ei и ej смежны, и нулю – в противном случае.

Так как в условии сказано, что граф не содержит в себе петель, то элементы диагонали в матрице смежности будут нули.

Так как в условии сказано, что граф неориентированный, то воспользуемся еще одной особенностью матрицы смежности – симметричностью относительно главной диагонали.

Таким образом, получим матрицу смежности:

Граф, соответствующий данной матрице смежности:

Степень вершины A– число ребер, для которых эта вершна является концевой.

d(A)=3; d(B)=3; d(C)=3; d(D)=3; d(E)=4;

Цикломатическое число µ(G) неориентированного графа определяется по формуле:

µ(G) = |E(G)| - |V(G)|+k, где

|E(G)| - число ребер графа.

|V(G)| - число вершин графа

k- число компонент связности.

То есть, µ(G) = |E(G)| - |V(G)|+k = 8-5+1=4.

Хроматическое число. Пусть p – натуральное число. Граф G(X) называется p-хроматическим, если его вершины можно раскрасить разлиными цветами так, чтобы никакие две смежные вершины не были раскрашены одинаково. Наименьшее p, при котором граф является p-хроматическим, называется хроматическм числом графа и обозначается γ(G).

То есть хроматическое число γ(G) = 3.

Матрица инцидентности графа G:

2) Построить граф своего микрорайона, отметив направление ребер для улиц с односторонним движением. Преобразовать полученный граф в орграф. Можно ли проложить путь между любыми двумя его вершинами, не нарушая установленных направлений движения транспорта и не выезжая за пределы района? На построенном графе приблизительно указать расстояния между смежными вершинами. Найти кратчайшие маршруты, соединяющие интересующие вершины. Существует ли эйлеров цикл для построенного графа, и что он означает? Если для

полученного графа существует гамильтонов цикл, найти его.

Решение:

220 120

200 200

150

300

120

100 100

1

120

250

350 350

220

Рис.1

Поскольку в микрорайне отсутвуют улици с односторонним движением то граф всегда будет оставать неориентированным

Эйлеров путь в графе существует тогда и только тогда, когда граф связный и содержит не более двух вершин нечётной степени. Ввиду леммы о рукопожатиях, число вершин с нечётной степенью должно быть четным. А значит Эйлеров путь существует только тогда, когда это число равно нулю или двум. Причём когда оно равно нулю, эйлеров путь вырождается в эйлеров цикл. В данном графе 4 вершины имеют нечетную степень, это значит что объехать микрорайон проехав по каждой улице только один раз не получится.

Согласно определению: гамильтонов путь — путь содержащий каждую вершину графа ровно один раз. Гамильтонов путь, начальная и конечная вершины которого совпадают, называется гамильтоновым циклом.  В данном графе можно пройти все вершины так, чтобы путь содержал каждую вершину только один раз, пример такого пути изображен на рисунке 2, порядок обхода от 1 до 10.

4

5

3

220 120

200 200

10

2

150

300

120

100 100

9

1

6

120

250

8

7

350 350

220

Рис.2