3)Тема: Особые точки функции комплексного переменного:

Число особых точек функции равно … 3

4)Тема: Операции над комплексными числами

Произведение комплексных чисел и равно

Решение: Произведение двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, находится по формуле: В нашем случае получим

Тема: Дифференцирование функции комплексного переменного Если , то равно 4.

Решение: Производная функции равна тогда

Тема: Особые точки функции комплексного переменного Для функции точка является

полюсом третьего порядка

Решение: Порядок полюса функции вида равен порядку нуля . Т.к. то точка является полюсом третьего порядка.

Тема: Операции над комплексными числами Сумма комплексных чисел и равна

Тема: Области на комплексной плоскости Все точки комплексной плоскости, принадлежащие множеству , изображенному на рисунке:

удовлетворяют условию …

Решение: Множество , изображенное на рисунке, ограничено прямыми Для комплексного числа : – действительная часть , - мнимая часть, угол наклона прямой к оси х равен . Следовательно, комплексные числа должны удовлетворять условиям .

Тема: Операции над комплексными числами Частное комплексных чисел и равно …

Решение: Частное двух комплексных чисел находится по формуле . В нашем случае получим

Тема: Особые точки функции комплексного переменного Для функции точка является …

полюсом третьего порядка

Решение: Порядок полюса функции вида равен порядку нуля . Так как , то точка будет полюсом третьего порядка.

Тема: Области на комплексной плоскости Все точки комплексной плоскости, принадлежащие множеству , изображенному на рисунке:

удовлетворяют условию …

Решение: Множество , изображенное на рисунке, представляет собой круг с центром в точке и радиусом . Уравнение окружности радиуса с центром в точке имеет вид: . Следовательно, все точки, принадлежащие множеству , удовлетворяют неравенству , или . Модуль комплексного числа равен . Тогда модуль комплексного числа равен . Следовательно, точки комплексной плоскости, принадлежащие множеству , удовлетворяют условию .

Тема: Дифференцирование функции комплексного переменного Если , то равно …

			4
			0

Решение: Производная функции равна . Тогда

Тема: Дифференцирование функции комплексного переменного Значение производной функции в точке равно …

Решение: Производная функции имеет вид . Тогда

Тема: Операции над комплексными числами Произведение комплексных чисел

и равно

Тема: Области на комплексной плоскости Все точки комплексной плоскости, принадлежащие множеству , изображенному на рисунке: удовлетворяют условию …

Решение: Множество , изображенное на рисунке, ограничено прямыми . Для комплексного числа угол наклона прямой к оси равен . Следовательно, комплексные числа , принадлежащие множеству , должны удовлетворять условиям

Тема: Дифференцирование функции комплексного переменного Если и , то мнимая часть производной этой функции имеет вид …

Решение: Производная функции равна . Тогда

Тема: Операции над комплексными числами Дано комплексное число . Тогда равно 16

Тема: Дифференцирование функции комплексного переменного Значение производной функции в точке равно …

Решение: Производная функции имеет вид Тогда

Тема: Области на комплексной плоскости Все точки комплексной плоскости, принадлежащие множеству , изображенному на рисунке: удовлетворяют условию …

Решение: Множество , изображенное на рисунке, ограничено прямыми и . Для комплексного числа угол наклона прямой к оси равен , а прямой , равен . Следовательно, комплексные числа , принадлежащие множеству , должны удовлетворять условиям .

Тема: Операции над комплексными числами Сумма комплексных чисел и равна …

			13

Решение: Чтобы сложить два комплексных числа и , надо сложить их вещественные и мнимые части, то есть . В нашем случае получим .

Тема: Особые точки функции комплексного переменного Для функции точка является …

			полюсом второго порядка
			полюсом третьего порядка
			полюсом первого порядка
			существенно особой точкой

Решение: Порядок полюса функции вида равен порядку нуля . Имеем , поэтому точка будет полюсом второго порядка.

Тема: Области на комплексной плоскости Все точки комплексной плоскости, принадлежащие множеству , изображенному на рисунке, удовлетворяют условию …

Тема: Особые точки функции комплексного переменного Для функции точка является …

			полюсом третьего порядка
			полюсом второго порядка
			полюсом первого порядка
			существенно особой точкой

Решение: Порядок полюса функции вида равен порядку нуля . Имеем , поэтому точка будет полюсом третьего порядка.

Тема: Операции над комплексными числами Произведение комплексных чисел и равно …

Тема: Дифференцирование функции комплексного переменного Если и , то мнимая часть производной этой функции имеет вид …

Тема: Операции над комплексными числами Значение выражения равно …

Тема: Области на комплексной плоскости Все точки комплексной плоскости, принадлежащие множеству , изображенному на рисунке: удовлетворяют условию …

Решение: Множество , изображенное на рисунке, ограничено прямыми и . Для комплексного числа угол наклона прямой к оси равен , а прямой , равен . Следовательно, комплексные числа , принадлежащие множеству , должны удовлетворять условиям .

Тема: Особые точки функции комплексного переменного Для функции точка является …

			полюсом второго порядка
			полюсом третьего порядка
			полюсом первого порядка
			существенно особой точкой

Решение: Порядок полюса функции вида равен порядку нуля . Имеем , поэтому точка будет полюсом второго порядка.

Тема: Дифференцирование функции комплексного переменного Если и , то действительная часть производной этой функции имеет вид …

Тема: Особые точки функции комплексного переменного Для функции точка является …

			полюсом второго порядка
			полюсом третьего порядка
			полюсом первого порядка
			существенно особой точкой

Решение: Порядок полюса функции вида равен порядку нуля . Так как , то точка будет полюсом второго порядка.

Тема: Области на комплексной плоскости Все точки комплексной плоскости, принадлежащие множеству , изображенному на рисунке, удовлетворяют условию …

Тема: Дифференцирование функции комплексного переменного Значение производной функции в точке равно …

Решение: Производная функции имеет вид

ДЕ7.Дифференциальные уравнения

Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Общее решение системы дифференциальных уравнений имеет вид …

Решение: Решим систему дифференциальных уравнений методом исключения. Из первого уравнения находим , откуда После подстановки во второе уравнение системы получим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами Общее решение этого уравнения имеет вид где общее решение соответствующего однородного уравнения, а некоторое частное решение неоднородного уравнения. Характеристическое уравнение имеет два действительных корня .Таким корням соответствует общее решение однородного дифференциального уравнения .Поскольку правая часть исходного уравнения , то имеем уравнение со специальной правой частью. Так как не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде Найдя производные первого и второго порядков и подставив в уравнение , получим Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид Дифференцируя полученное решение, находим и Значит, общее решение системы уравнений имеет вид

Тема: Поле направлений и изоклины Дано дифференциальное уравнение . Тогда отрезок соответствующего ему поля направлений в точке образует с осью угол при равном 2.

Решение: Так как дифференциальное уравнение имеет вид , то угол определяется из равенства , где -координаты точки А.

В рассматриваемом случае ,то есть . Следовательно

Тема: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Общее решение дифференциального уравнения имеет вид

Решение: Разделим переменные: . Проинтегрируем обе части уравнения: Тогда .Откуда

Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее условию , имеет вид …

Решение: Проинтегрируем обе части уравнения: . Подставив условие , получим и

Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Общее решение системы дифференциальных уравнений имеет вид…

Решение: Решим систему дифференциальных уравнений методом исключения. Из второго уравнения находим производную и после подстановки выражений для и в первое уравнение системы получим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение имеет два действительных корня: Таким корням соответствует общее решение однородного дифференциального уравнения .Дифференцируя полученное решение, находим Тогда общее решение системы уравнений имеет вид .

Тема: Поле направлений и изоклины Поле направлений дифференциального уравнения определяется неравенством …

Тема: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение будет уравнением с разделяющимися переменными при значении , равном….. 4.

Решение: Данное уравнение можно представить в виде . Это уравнение будет уравнением с разделяющимися переменными при , то есть при , откуда

Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Решение задачи Коши имеет вид …..

Решение: Проинтегрировав обе части уравнения, получим: . Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид . Для вычисления значения подставим в найденное общее решение начальное условие . Тогда и . Следовательно, частное решение имеет вид

Тема: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …

Решение: Разделим переменные: . Проинтегрируем обе части уравнения: . Тогда , откуда

Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Общее решение системы дифференциальных уравнений имеет вид …

Решение: Решим систему дифференциальных уравнений методом исключения. Из первого уравнения находим , откуда . После подстановки во второе уравнение системы получим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами .Общее решение этого уравнения имеет вид , где – общее решение соответствующего однородного уравнения, а – некоторое частное решение неоднородного уравнения. Характеристическое уравнение имеет два действительных корня: . Таким корням соответствует общее решение однородного дифференциального уравнения . Поскольку правая часть исходного уравнения , то имеем уравнение со специальной правой частью. Так как не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде . Найдя производные первого и второго порядков и подставив в уравнение , получим . Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид . Дифференцируя полученное решение, находим и . Следовательно, общее решение системы уравнений имеет вид .

Тема: Поле направлений и изоклины Дано дифференциальное уравнение . Тогда отрезок соответствующего ему поля направлений в точке образует с осью угол, равный …

Решение: Так как дифференциальное уравнение имеет вид , то искомый угол определяется из равенства , где – координаты точки . В рассматриваемом случае , то есть . Следовательно,

Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Решение задачи Коши , имеет вид …

Решение: Сделаем замену . Тогда , и уравнение запишется в виде . Разделив переменные, получим: . Проинтегрируем обе части последнего уравнения: . Сделаем обратную замену: ; подставим в найденное общее решение начальное условие . Тогда и . Следовательно, частное решение имеет вид

Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Решение задачи Коши , имеет вид …

Решение: Выразив из первого уравнения, можем получить , откуда . Сложив удвоенное первое и утроенное второе уравнения, получим , или , то есть . Из системы уравнений находим общее решение системы Подставив начальные условия, получим: .Поэтому решение задачи Коши имеет вид

Тема: Поле направлений и изоклины Дано дифференциальное уравнение . Тогда отрезок соответствующего ему поля направлений в точке образует с осью угол при равном…

			2
			14

Решение: Так как дифференциальное уравнение имеет вид , то угол определяется из равенства , где – координаты точки . В рассматриваемом случае , то есть . Следовательно,

Тема: Поле направлений и изоклины Дано дифференциальное уравнение . Тогда отрезок соответствующего ему поля направлений в точке образует с осью угол при равном …

Решение: Данное уравнение можно представить в виде . Действительно, , или . Тогда угол определяется из равенства , где – координаты точки . В рассматриваемом случае , то есть . Следовательно,

Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Функция является общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка. Тогда для начального условия частное решение этого уравнения имеет вид …

Решение: Подставив в общее решение начальное условие , то есть , получим значение . Следовательно, искомое частное решение имеет вид

Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Решение задачи Коши , имеет вид …

Тема: Поле направлений и изоклины Дано дифференциальное уравнение . Тогда отрезок соответствующего ему поля направлений в точке образует с осью угол, равный …

Решение: Так как дифференциальное уравнение имеет вид , то искомый угол определяется из равенства , где – координаты точки . В рассматриваемом случае , то есть . Следовательно, .

Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Решение задачи Коши , имеет вид …

Решение: Сделаем замену . Тогда , и уравнение запишется в виде . Разделив переменные, получим: . Проинтегрируем обе части последнего уравнения: . Сделаем обратную замену: ; подставим в найденное общее решение начальное условие . Тогда и . Следовательно, частное решение имеет вид .

Тема: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …

Решение: Разделим переменные: . Проинтегрируем обе части уравнения: . Тогда . Откуда

Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Решение задачи Коши , имеет вид …

Тема: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …

Решение: Разделим переменные: . Проинтегрируем обе части уравнения: . Тогда . Откуда .

Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее условию , имеет вид …

Решение: Проинтегрируем обе части уравнения: . Подставив начальное условие , получим и .

Тема: Поле направлений и изоклины Поле направлений дифференциального уравнения определяется неравенством …

Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Общее решение системы дифференциальных уравнений имеет вид …

Решение: Решим систему дифференциальных уравнений методом исключения. Из второго уравнения находим производную и после подстановки выражений для и в первое уравнение системы получим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами . Характеристическое уравнение имеет два действительных корня: . Таким корням соответствует общее решение однородного дифференциального уравнения . Дифференцируя полученное решение, находим . Тогда общее решение системы уравнений имеет вид

Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее условию , имеет вид …

Решение: Введем замену ; . Тогда уравнение примет вид , или . Пусть . Тогда . Подставим найденное значение в уравнение . Получим: , то есть и . Общее решение примет вид . Подставив начальное условие, получим . Откуда и частное решение будет иметь вид .

Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Общее решение системы дифференциальных уравнений имеет вид …

Решение: Решим систему дифференциальных уравнений методом исключения. Из первого уравнения находим производную и после подстановки выражений для и во второе уравнение системы получим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами . Характеристическое уравнение имеет два действительных корня: . Таким корням соответствует общее решение однородного дифференциального уравнения . Дифференцируя полученное решение, находим . Тогда общее решение системы уравнений имеет вид .

Тема: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Если угловой коэффициент касательной к кривой в любой ее точке вдвое больше углового коэффициента радиуса-вектора точки касания, то уравнение этой кривой будет иметь вид …

			,
			,
			,

Решение: Угловой коэффициент касательной в произвольной точке равен производной в этой точке, то есть , а угловой коэффициент радиус-вектора точки касания определяется отношением . Тогда для нахождения уравнения искомой кривой получим уравнение с разделяющимися переменными . Разделив переменные, получим . Проинтегрируем обе части этого уравнения: . Тогда , . Откуда , .

Тема: Поле направлений и изоклины Дано дифференциальное уравнение . Тогда отрезок соответствующего ему поля направлений в точке образует с осью угол, равный …

Тема: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Если угловой коэффициент касательной к кривой в любой ее точке вдвое больше углового коэффициента радиуса-вектора точки касания, то уравнение этой кривой будет иметь вид …

			,
			,
			,

Решение: Угловой коэффициент касательной в произвольной точке равен производной в этой точке, то есть , а угловой коэффициент радиус-вектора точки касания определяется отношением . Тогда для нахождения уравнения искомой кривой получим уравнение с разделяющимися переменными . Разделив переменные, получим . Проинтегрируем обе части этого уравнения: . Тогда , . Откуда , .

Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее условию , имеет вид …

Решение: Проинтегрируем обе части уравнения: . Подставив начальное условие , получим и

ДЕ8.Теория вероятности

Тема: Числовые характеристики случайных величин Дискретная случайная величина X задана законом распределения вероятностей: Тогда ее среднее квадратическое отклонение равно … 0,80

Решение: Среднее квадратическое отклонение случайной величины Х определяется как , где дисперсию дискретной случайной величины можно вычислить по формуле .Тогда , а

Тема: Определение вероятности В партии из 12 деталей имеется 5 бракованных. Наудачу отобраны три детали. Тогда вероятность того, что среди отобранных деталей нет годных, равна …

Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса В первой урне 5 черных и 6 белых шаров. Во второй урне 3 белых шара и 6 черных шаров. Из первой урны переложили один шар во вторую урну. Тогда вероятность того, что шар, вынутый наудачу из второй урны, будет черным, равна …

Решение: Для вычисления вероятности события A (вынутый наудачу шар – черный) применим формулу полной вероятности: .Здесь вероятность того, что из первой урны переложили во вторую урну белый шар; – вероятность того, что из первой урны переложили во вторую урну черный шар; – условная вероятность того, что вынутый шар черный, если из первой урны во вторую был переложен белый шар; – условная вероятность того, что вынутый шар черный, если из первой урны во вторую был переложен черный шар.

Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей: Тогда вероятность равна …

0,8

Решение:

Тема: Числовые характеристики случайных величин Дисперсия дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения вероятностей: равна 0,06. Тогда значение равно …

1,5

Решение: Дисперсию дискретной случайной величины можно вычислить по формуле . Тогда

или . Решив последнее уравнение, получаем два корня и

Тема: Определение вероятности В партии из 12 деталей имеется 5 бракованных. Наудачу отобраны три детали. Тогда вероятность того, что среди отобранных деталей нет годных, равна …

Решение: Для вычисления события А (среди отобранных деталей нет годных) воспользуемся формулой где n – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события А. нашем случае общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три детали из 12 имеющих, то есть .

А общее число благоприятствующих исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три бракованные детали из пяти, то есть .

Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса Банк выдает 44% всех кредитов юридическим лицам, а 56% – физическим лицам. Вероятность того, что юридическое лицо не погасит в срок кредит, равна 0,2; а для физического лица эта вероятность составляет 0,1. Тогда вероятность того, что очередной кредит будет погашен в срок, равна …

0,856

Решение: Для вычисления вероятности события A (выданный кредит будет погашен в срок) применим формулу полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что кредит был выдан юридическому лицу; – вероятность того, что кредит был выдан физическому лицу; – условная вероятность того, что кредит будет погашен в срок, если он был выдан юридическому лицу; – условная вероятность того, что кредит будет погашен в срок, если он был выдан физическому лицу. Тогда

Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин Для дискретной случайной величины Х функция распределения вероятностей имеет вид:

Тогда значение параметра может быть равно …

0,655

Тема: Определение вероятности Игральная кость бросается два раза. Тогда вероятность того, что сумма выпавших очков не меньше девяти, равна …

			0

Решение: Для вычисления события (сумма выпавших очков будет не меньше девяти) воспользуемся формулой , где – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события A. В нашем случае возможны элементарных исходов испытания, из которых благоприятствующими являются исходы вида , , , , , , , и , то есть . Следовательно,

Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин Для дискретной случайной величины : функция распределения вероятностей имеет вид: Тогда значение параметра может быть равно …

			0,7
			1
			0,85
			0,6

Решение: По определению . Следовательно, и . Этим условиям удовлетворяет, например, значение

Тема: Числовые характеристики случайных величин Непрерывная случайная величина задана функцией распределения вероятностей: Тогда ее дисперсия равна …

Решение: Эта случайная величина распределена равномерно в интервале . Тогда ее дисперсию можно вычислить по формуле . То есть

Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса В первой урне 6 черных шаров и 4 белых шара. Во второй урне 2 белых и 8 черных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар, который оказался белым. Тогда вероятность того, что этот шар вынули из первой урны, равна …

Решение: Предварительно вычислим вероятность события A (вынутый наудачу шар – белый) по формуле полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что шар извлечен из первой урны; – вероятность того, что шар извлечен из второй урны; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если он извлечен из первой урны; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если он извлечен из второй урны. Тогда . Теперь вычислим условную вероятность того, что этот шар был извлечен из первой урны, по формуле Байеса:

Тема: Числовые характеристики случайных величин Дискретная случайная величина X задана законом распределения вероятностей: Тогда ее дисперсия равна …

			7,56
			3,2
			3,36
			6,0

Решение: Дисперсию дискретной случайной величины можно вычислить по формуле

. Тогда

Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей: Тогда ее функция распределения вероятностей имеет вид …

Решение: По определению . Тогда а) при , , б) при , , в) при , , г) при , , д) при , . Следовательно,

Тема: Определение вероятности Внутрь круга радиуса 4 наудачу брошена точка. Тогда вероятность того, что точка окажется вне вписанного в круг квадрата, равна …

Тема: Определение вероятности В партии из 12 деталей имеется 5 бракованных. Наудачу отобраны три детали. Тогда вероятность того, что среди отобранных деталей нет бракованных, равна …

Решение: Для вычисления события (среди отобранных деталей нет бракованных) воспользуемся формулой , где n – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события . В нашем случае общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три детали из 12 имеющих, то есть . А общее число благоприятствующих исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три небракованные детали из семи, то есть . Следовательно,

Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса Имеются три урны, содержащие по 5 белых и 5 черных шаров, и семь урн, содержащих по 6 белых и 4 черных шара. Из наудачу взятой урны вытаскивается один шар. Тогда вероятность того, что этот шар белый, равна …

			0,57
			0,43
			0,55
			0,53

Решение: Для вычисления вероятности события A (вынутый наудачу шар – белый) применим формулу полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что шар извлечен из первой серии урн; – вероятность того, что шар извлечен из второй серии урн; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из он извлечен из первой серии урн; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из он извлечен из второй серии урн. Тогда

Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей: Тогда вероятность равна …

			0,5
			0,8
			0,7
			0,1

ЗАДАНИЕ N 40 сообщить об ошибке Тема: Числовые характеристики случайных величин Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей: Тогда ее математическое ожидание равно …

			3
			2
			1
			0

Решение: Воспользуемся формулой . Тогда

Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса Банк выдает 70% всех кредитов юридическим лицам, а 30% – физическим лицам. Вероятность того, что юридическое лицо не погасит в срок кредит, равна 0,15; а для физического лица эта вероятность составляет 0,05. Получено сообщение о невозврате кредита. Тогда вероятность того, что этот кредит не погасило юридическое лицо, равна …

			0,875
			0,125
			0,105
			0,375

Решение: Предварительно вычислим вероятность события A (выданный кредит не будет погашен в срок) по формуле полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что кредит был выдан юридическому лицу; – вероятность того, что кредит был выдан физическому лицу; – условная вероятность того, что кредит не будет погашен в срок, если он был выдан юридическому лицу; – условная вероятность того, что кредит не будет погашен в срок, если он был выдан физическому лицу. Тогда . Теперь вычислим условную вероятность того, что этот кредит не погасило юридическое лицо, по формуле Байеса: .

Тема: Числовые характеристики случайных величин Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей: Тогда ее математическое ожидание равно …

			3
			2
			1
			0

Решение: Воспользуемся формулой . Тогда .

Тема: Определение вероятности В круг радиуса 8 помещен меньший круг радиуса 5. Тогда вероятность того, что точка, наудачу брошенная в больший круг, попадет также и в меньший круг, равна …

Решение: Для вычисления вероятности искомого события воспользуемся формулой , где – площадь меньшего круга, а – площадь большего круга. Следовательно,

Тема: Числовые характеристики случайных величин Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей . Тогда математическое ожидание a и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины равны …

Решение: Плотность распределения вероятностей нормально распределенной случайной величины имеет вид , где , . Поэтому .

Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей: Тогда значения a и b могут быть равны …

Решение: Так как сумма вероятностей возможных значений равна 1, то . Этому условию удовлетворяет ответ: .

Тема: Определение вероятности В круг радиуса 8 помещен меньший круг радиуса 5. Тогда вероятность того, что точка, наудачу брошенная в больший круг, попадет также и в меньший круг, равна …

Решение: Для вычисления вероятности искомого события воспользуемся формулой , где – площадь меньшего круга, а – площадь большего круга. Следовательно, .

Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса В первой урне 3 черных шара и 7 белых шаров. Во второй урне 4 белых шара и 5 черных шаров. Из первой урны переложили один шар во вторую урну. Тогда вероятность того, что шар, вынутый наудачу из второй урны, будет белым, равна …

			0,47
			0,55
			0,35
			0,50

Решение: Для вычисления вероятности события A (вынутый наудачу шар – белый) применим формулу полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что из первой урны переложили во вторую урну белый шар; – вероятность того, что из первой урны переложили во вторую урну черный шар; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из первой урны во вторую был переложен белый шар; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из первой урны во вторую был переложен черный шар. Тогда

Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин Для дискретной случайной величины : функция распределения вероятностей имеет вид: Тогда значение параметра может быть равно …

			0,7
			1
			0,85
			0,6

ЗАДАНИЕ N 10 сообщить об ошибке Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса Банк выдает 70% всех кредитов юридическим лицам, а 30% – физическим лицам. Вероятность того, что юридическое лицо не погасит в срок кредит, равна 0,15; а для физического лица эта вероятность составляет 0,05. Получено сообщение о невозврате кредита. Тогда вероятность того, что этот кредит не погасило юридическое лицо, равна …

			0,875
			0,125
			0,105
			0,375

Решение: Предварительно вычислим вероятность события A (выданный кредит не будет погашен в срок) по формуле полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что кредит был выдан юридическому лицу; – вероятность того, что кредит был выдан физическому лицу; – условная вероятность того, что кредит не будет погашен в срок, если он был выдан юридическому лицу; – условная вероятность того, что кредит не будет погашен в срок, если он был выдан физическому лицу. Тогда . Теперь вычислим условную вероятность того, что этот кредит не погасило юридическое лицо, по формуле Байеса: .

ЗАДАНИЕ N 11 сообщить об ошибке Тема: Определение вероятности В партии из 12 деталей имеется 5 бракованных. Наудачу отобраны три детали. Тогда вероятность того, что среди отобранных деталей нет годных, равна …

Решение: Для вычисления события (среди отобранных деталей нет годных) воспользуемся формулой , где n – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события . В нашем случае общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три детали из 12 имеющих, то есть . А общее число благоприятствующих исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три бракованные детали из пяти, то есть . Следовательно,

ЗАДАНИЕ N 12 сообщить об ошибке Тема: Числовые характеристики случайных величин Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей: Тогда ее дисперсия равна …

Решение: Дисперсию непрерывной случайной величины можно вычислить по формуле

Тогда

Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей: Тогда ее функция распределения вероятностей имеет вид …

Решение: По определению . Тогда а) при , , б) при , , в) при , , г) при , , д) при , . Следовательно,

Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса Имеются три урны, содержащие по 5 белых и 5 черных шаров, и семь урн, содержащих по 6 белых и 4 черных шара. Из наудачу взятой урны вытаскивается один шар. Тогда вероятность того, что этот шар белый, равна …

			0,57
			0,43
			0,55
			0,53

Решение: Для вычисления вероятности события A (вынутый наудачу шар – белый) применим формулу полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что шар извлечен из первой серии урн; – вероятность того, что шар извлечен из второй серии урн; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из он извлечен из первой серии урн; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из он извлечен из второй серии урн. Тогда .

Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей: Тогда вероятность равна …

			0,8
			0,3
			0,7
			0,4

Решение: .

Тема: Числовые характеристики случайных величин Дискретная случайная величина X задана законом распределения вероятностей: Тогда ее дисперсия равна …

			7,56
			3,2
			3,36
			6,0

Тема: Определение вероятности Игральная кость бросается два раза. Тогда вероятность того, что сумма выпавших очков – десять, равна …

			0

Решение: Для вычисления события (сумма выпавших очков будет равна десяти) воспользуемся формулой , где – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события A. В нашем случае возможны элементарных исходов испытания, из которых благоприятствующими являются исходы вида , и , то есть . Следовательно,

ДЕ9. Математическая статистика

1)Тема: Интервальные оценки параметров распределения Дан доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда точечная оценка математического ожидания равна … 36,62

Решение: Интервальная оценка математического ожидания нормально распределенного количественного признака представляет собой интервал, симметричный относительно точечной оценки. Тогда точечная оценка будет равна

Тема: Проверка статистических гипотез Соотношением вида можно определить …

левостороннюю критическую область

Тема: Элементы корреляционного анализа Выборочное уравнение прямой линии регрессии на имеет вид .

Тогда выборочный коэффициент корреляции может быть равен …

Решение: Значение выборочного коэффициента корреляции, во-первых, принадлежит промежутку а во-вторых, его знак совпадает со знаком выборочного коэффициента регрессии. Этим условиям удовлетворяет значение

Тема: Статистическое распределение выборки Из генеральной совокупности извлечена выборка объема

гистограмма частот которой имеет вид:

Тогда значение a равно …

38

Решение: Так как объем выборки вычисляется как где то

Тема: Интервальные оценки параметров распределения Точечная оценка математического ожидания нормально распределенного количественного признака равна 12,04. Тогда его интервальная оценка с точностью 1,66 имеет вид …

Тема: Проверка статистических гипотез Основная гипотеза имеет вид . Тогда конкурирующей может являться гипотеза …

Решение: Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу, которая противоречит основной гипотезе. Условию противоречит .

Тема: Статистическое распределение выборки Из генеральной совокупности извлечена выборка объема , полигон частот которой имеет вид:

Тогда относительная частота варианты в выборке равна … 0,05

Решение: Относительная частота вычисляется по формуле , где – частота варианты , а – объем выборки. Вычислим предварительно частоту варианты как . Тогда

Тема: Интервальные оценки параметров распределения Дан доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда при увеличении надежности (доверительной вероятности) оценки доверительный интервал может принять вид …

Решение: Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака можно представить в виде симметричного интервала , где точечная оценка математического ожидания , а точность оценки . В случае увеличения надежности точность оценки ухудшается, то есть значение будет больше 0,77.

Тема: Статистическое распределение выборки Из генеральной совокупности извлечена выборка объема

Тогда относительная частота варианты равна …

0,25

Тема: Элементы корреляционного анализа Выборочное уравнение прямой линии регрессии на имеет вид . Тогда выборочное среднее признака равно …

Тема: Проверка статистических гипотез Левосторонняя критическая область может определяться из соотношения …

Решение: Левосторонней называют критическую область, определяемую соотношением , где – отрицательное число, а – уровень значимости. Таким соотношением является

Тема: Проверка статистических гипотез Двусторонняя критическая область может определяться из соотношения …

Тема: Интервальные оценки параметров распределения Точечная оценка математического ожидания нормально распределенного количественного признака равна 0,4. Тогда его интервальная оценка может иметь вид …

Тема: Интервальные оценки параметров распределения Точечная оценка математического ожидания нормально распределенного количественного признака равна 12,04. Тогда его интервальная оценка с точностью 1,66 имеет вид …

Решение: Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака можно представить в виде симметричного интервала , где точечная оценка математического ожидания , а точность оценки . Следовательно, интервальная оценка будет иметь вид

Тема: Статистическое распределение выборки Из генеральной совокупности извлечена выборка объема , гистограмма относительных частот которой имеет вид

Тогда значение a равно …

Тема: Проверка статистических гипотез Соотношением вида можно определить …

			правостороннюю критическую область
			левостороннюю критическую область
			двустороннюю критическую область
			область принятия гипотезы

Решение: Данное соотношение определяет правостороннюю критическую область, так как правосторонней называют критическую область, определяемую соотношением вида , где – положительное число, а – уровень значимости.

Тема: Проверка статистических гипотез Левосторонняя критическая область может определяться из соотношения …

Тема: Элементы корреляционного анализа Выборочное уравнение прямой линии регрессии на имеет вид . Тогда выборочное среднее признака равно …

Решение: Выборочное уравнение прямой линии регрессии на имеет вид . Тогда выборочное среднее признака равно .

Тема: Интервальные оценки параметров распределения Дан доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда точность этой оценки равна …

			1,12
			0,01
			2,24
			13,56

Тема: Статистическое распределение выборки Статистическое распределение выборки имеет вид Тогда значение относительной частоты равно …

			0,25
			0,05
			0,26
			0,75

Решение: Сумма относительных частот равна единице. Поэтому .

Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Решение задачи Коши , имеет вид …

Тема: Элементы корреляционного анализа Выборочное уравнение прямой линии регрессии на имеет вид . Тогда выборочное среднее признака равно …

Тема: Интервальные оценки параметров распределения Дан доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда при увеличении надежности (доверительной вероятности) оценки доверительный интервал может принять вид …

Решение: Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака можно представить в виде симметричного интервала , где точечная оценка математического ожидания , а точность оценки . В случае увеличения надежности точность оценки ухудшается, то есть значение будет больше 0,77.

Тема: Статистическое распределение выборки Из генеральной совокупности извлечена выборка объема : Тогда относительная частота варианты равна …

			0,25
			0,75
			0,24
			0,04

Тема: Проверка статистических гипотез Соотношением вида можно определить …

			двустороннюю критическую область
			правостороннюю критическую область
			левостороннюю критическую область
			область принятия гипотезы

Решение: Данное соотношение определяет двустороннюю критическую область, так как двусторонней называют критическую область, определяемую, например, соотношением вида , где – положительное число, а – уровень значимости.

Тема: Элементы корреляционного анализа Выборочное уравнение прямой линии регрессии на имеет вид , а выборочные средние квадратические отклонения равны: . Тогда выборочный коэффициент корреляции равен …

Решение: Выборочный коэффициент корреляции можно вычислить из соотношения . Тогда .

Тема: Проверка статистических гипотез Соотношением вида можно определить …

			двустороннюю критическую область
			правостороннюю критическую область
			левостороннюю критическую область
			область принятия гипотезы

Тема: Интервальные оценки параметров распределения Дан доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда точечная оценка математического ожидания равна …

			36,62
			36,52
			9,12
			73,24

Решение: Интервальная оценка математического ожидания нормально распределенного количественного признака представляет собой интервал, симметричный относительно точечной оценки. Тогда точечная оценка будет равна .

Тема: Статистическое распределение выборки Из генеральной совокупности извлечена выборка объема , полигон относительных частот которой имеет вид: Тогда число вариант в выборке равно …

			37
			63
			100
			36

Решение: Вычислим предварительно относительную частоту варианты как . Тогда из определения относительной частоты , получаем, что

Тема: Статистическое распределение выборки Из генеральной совокупности извлечена выборка объема , полигон частот которой имеет вид: Тогда число вариант в выборке равно …

			32
			82
			8
			31

Тема: Проверка статистических гипотез Соотношением вида можно определить …

			двустороннюю критическую область
			правостороннюю критическую область
			левостороннюю критическую область
			область принятия гипотезы

Тема: Интервальные оценки параметров распределения Дан доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда точечная оценка математического ожидания равна …

			36,62
			36,52
			9,12
			73,24

Тема: Элементы корреляционного анализа При построении выборочного уравнения парной регрессии вычислены выборочный коэффициент корреляции и выборочные средние квадратические отклонения . Тогда выборочный коэффициент регрессии на равен …

Решение: Выборочный коэффициент регрессии на вычисляется по формуле . Тогда

Тема: Статистическое распределение выборки Статистическое распределение выборки имеет вид Тогда объем выборки равен …

			67
			40
			5
			107

Решение: Объем выборки вычисляется по формуле , где – частота варианты . Тогда .

Тема: Проверка статистических гипотез Соотношением вида можно определить …

			левостороннюю критическую область
			правостороннюю критическую область
			двустороннюю критическую область
			область принятия гипотезы

Решение: Данное соотношение определяет левостороннюю критическую область, так как левосторонней называют критическую область, определяемую соотношением , где – положительное число, а – уровень значимости.

ДЕ-10 Элементы комбинаторики

Тема: Элементы комбинаторики Сколько чисел меньших, чем миллион можно написать с помощью цифр 3 и 7?

126 |

Решение: С помощью двух различных цифр можно записать – шестизначных чисел, , – пятизначных , - четырехзначных трехзначных чисел двузначных чисел, – однозначных чисел. Просуммируем эти композиции

Тема: Неориентированные графы Матрица смежности графа, изображенного на рисунке

имеет вид …

Решение: Матрицей смежности графа называют квадратную матрицу размера , строкам и столбцам которой соответствуют вершины помеченного графа (первый столбец (строка) отвечает первой вершине и т.д.), а ее элементы равны количеству ребер, инцидентных вершинам с номерами i и j. Согласно определению составляем матрицу смежности

Тема: Операции над высказываниями Нулевой набор у формулы получается при следующих значениях переменных … ,

Тема: Декартово произведение множеств Пусть заданы два множества: ,

Тогда геометрическая интерпретация множества имеет вид …

Тема: Элементы комбинаторики Вокруг костра сидят 12 разбойников. Каждый из них смертельно ненавидит двух ближайших соседей. С целью спрятать награбленное необходимо выделить 5 разбойников. Сколькими способами атаман может назначить пятерых так, чтобы между ними не было распрей?

12 |

Решение: 12 разбойников разбиваются на две группы по 6 не враждующих между собой человек. Атаман может выбрать 5 человек из первой группы способами или 5 человек из второй группы тоже способами. Тогда по правилу суммы получим: способов выбора 5 разбойников.

Тема: Операции над высказываниями Отрицание высказывания равносильно высказыванию …

Решение: Высказывание означает: неправда что х положительно, а значит

Тема: Неориентированные графы Эйлеровым является граф …

Решение: Эйлеровым называют граф содержащий эйлеров цикл. Цикл называется эйлеровым, если он простой и содержит все ребра графа. Критерий эйлеровости графа: граф называется Эйлеровым тогда и только тогда, когда степени всех его вершин четные. Из представленных графов только этот граф имеет четные степени всех вершин.

Тема: Декартово произведение множеств Декартово произведение отрезка на отрезок ….является прямоугольником с вершинами

Решение: Декартовым произведением отрезка на отрезок является прямоугольник с вершинами

Тема: Элементы комбинаторики На 10 карточках написаны буквы так, что из этих карточек можно получить слово ИСЧИСЛЕНИЕ. Сколько существует различных 10-буквенных слов, которые можно образовать с помощью этих десяти карточек?

151200 |

Решение: Разобьем карточки на группы. Первая группа содержит букву И. Элементы ее неразличимы. Число элементов первой группы . Вторую группу образуют карточки с буквой С. Число элементов второй группы . Третью группу образуют карточки с буквой Ч. Число элементов этой группы . Четвертую группу образуют карточки с буквой Л, число элементов . Пятую группу образуют карточки с буквой Е. Число элементов . Шестая группа состоит из карточек с буквой Н. Количество элементов этой группы . Число различных 10-буквенных слов, образованных этими 10 карточками, совпадает с числом различных перестановок с повторениями и равно

Тема: Неориентированные графы Из представленных графов полным является граф …

Решение: Полным называют граф без петель и кратных ребер, в котором любые две вершины соединены ребром.

Тема: Операции над высказываниями Из трех логических выражений: эквивалентными являются … и

Решение: Составим таблицы истинности для Сопоставляя таблицы, видим, что не эквивалентна формулам и , а и эквивалентны.

Тема: Декартово произведение множеств Декартово произведение множеств и равно …

Тема: Декартово произведение множеств Декартово произведение множеств и представляет собой …

окружность , лежащую в плоскости

Тема: Неориентированные графы Для графа, изображенного на рисунке, степень вершины равна …

			5
			4
			3
			1

Решение: Степенью вершины называют удвоенное количество петель, инцидентных этой вершине, плюс количество остальных инцидентных ей ребер. То есть степень вершины равна пяти.

Тема: Элементы комбинаторики На школьном вечере присутствуют 5 девушек и 6 юношей. Выбрать из них 2 пары для танца можно ___ способом(-ами).

300 |

Решение: Сначала в произвольном порядке выбираем двух юношей из шести способами (сочетания 2 из 6), затем выбираем для них девушек, причем теперь порядок выбора важен. Число способов выбрать двух девушек из пяти равно (размещения 2 из 5). Тогда число способов для выбора двух пар по правилу произведения равно:

Тема: Операции над высказываниями На вопрос, кто из трех учащихся изучал логику, был получен правильный ответ: если изучал первый, то изучал и второй, но неверно, что если изучал третий, то изучал и второй. Тогда логику …

			изучал третий учащийся
			изучал второй учащийся
			изучал первый учащийся
			никто из учащихся не изучал

Решение: Обозначим через a, b, c высказывания, состоящие соответственно в том, что первый, второй, третий учащиеся изучали логику. Запишем условие задачи с помощью a, b, c и логических операций. Получим выражение . Известно, что это высказывание истинно. Составим таблицу истинности полученного выражения: Только в предпоследней строке получившееся выражение принимает истинное значение, а все остальные значения ложны. При этом высказывания a и b ложны, а c – истинно. Значит, логику изучал только третий учащийся.

Тема: Операции над высказываниями Высказывание « » означает, что …

			« – любое число»
			« принадлежит интервалу »
			« принадлежит промежутку »
			« не существует»

Решение: Высказывание « » – это дизъюнкция двух неравенств, и решением является объединение промежутков: . То есть – любое число.

Тема: Декартово произведение множеств Даны множества , и . Тогда число элементов декартова произведения множеств равно…

			24
			10
			2
			12

Решение: Декартово произведение множеств – это множество, состоящее из упорядоченных пар элементов, первым элементом которых являются элементы первого множества, вторым – элементы второго, то есть Множество, состоящее из шести элементов, умножается на множество из четырех элементов, тогда по свойству декартова произведения получается множество, состоящее из 24 элементов.

Тема: Неориентированные графы Для графа, изображенного на рисунке, гамильтоновым циклом является маршрут …

Решение: Цикл называется гамильтоновым, если он простой и содержит все вершины графа. Для данного графа гамильтоновым циклом служит, например, маршрут

Тема: Неориентированные графы Матрица смежности графа, изображенного на рисунке имеет вид …

Решение: Матрицей смежности графа называют квадратную матрицу размера , строкам и столбцам которой соответствуют вершины помеченного графа (первый столбец (строка) отвечает первой вершине и т.д.), а ее элементы равны количеству ребер, инцидентных вершинам с номерами i и j. Согласно определению составляем матрицу смежности

Тема: Декартово произведение множеств Даны множества , и . Тогда число элементов декартова произведения множеств равно…

			24
			10
			2
			12

Решение: Декартово произведение множеств – это множество, состоящее из упорядоченных пар элементов, первым элементом которых являются элементы первого множества, вторым – элементы второго, то есть Множество, состоящее из шести элементов, умножается на множество из четырех элементов, тогда по свойству декартова произведения получается множество, состоящее из 24 элементов.

Тема: Элементы комбинаторики Сколько чисел меньших, чем миллион можно написать с помощью цифр 3 и 7?

126 |

Решение: С помощью двух различных цифр можно записать – шестизначных чисел, – пятизначных чисел, – четырехзначных чисел, – трехзначных чисел, – двузначных чисел, – однозначных чисел. Просуммируем эти композиции .

Тема: Операции над высказываниями Формулой, равносильной формуле , является …

Решение:

Тема: Операции над высказываниями Таблица истинности для формулы представляет собой …

Решение:

Тема: Неориентированные графы Эйлеровым является граф …

Решение: Эйлеровым называют граф содержащий эйлеров цикл. Цикл называется эйлеровым, если он простой и содержит все ребра графа. Критерий эйлеровости графа: граф называется Эйлеровым тогда и только тогда, когда степени всех его вершин четные. Из представленных графов только граф имеет четные степени всех вершин.

Тема: Операции над высказываниями Высказывание « » означает, что …

			« – любое число»
			« принадлежит интервалу »
			« принадлежит промежутку »
			« не существует»

Решение: Высказывание « » – это дизъюнкция двух неравенств, и решением является объединение промежутков: . То есть – любое число.

Тема: Элементы комбинаторики В урне находятся 10 белых, 15 красных, 20 голубых шаров. Все шары пронумерованы. Сколькими различными способами можно взять из урны три шара разных цветов?

3000 |

Решение: Возьмем один белый шар. Это действие можно выполнить 10 способами (по числу различных белых шаров в урне). К выбранному белому шару присоединим красный шар, который можно взять 15 различными способами (по числу различных красных шаров в урне). К выбранной присоединим голубой шар, который можно взять 20 способами (по числу различных голубых шаров в урне). Таким образом, можно образовать различные тройки разноцветных шаров. Число различных способов выбора троек разноцветных шаров совпадает с числом различных трех действий и по правилу умножения равно:

Тема: Неориентированные графы Для графа G, изображенного на рисунке, матрица смежности имеет вид …

Тема: Операции над высказываниями Отрицанием высказывания «Если я сдам зачет, то пойду в кафе с друзьями или на вечеринку» является высказывание:

			«Я сдам зачет и не пойду ни в кафе с друзьями, ни на вечеринку»
			«Если я не сдам зачет, то не пойду в кафе с друзьями или не пойду на вечеринку»
			«Если я не сдам зачет, то, несмотря ни на что, пойду в кафе с друзьями или на вечеринку»
			«Я не сдам зачет и не пойду ни в кафе с друзьями, ни на вечеринку»

Решение: Введем простые высказывания: A – «я сдам зачет», B – «пойду в кафе с друзьями», C – «пойду на вечеринку». Тогда высказывание «Если я сдам зачет, то пойду в кафе с друзьями или на вечеринку» имеет вид . Отрицание этого высказывания . Получаем высказывание: «Я сдам зачет и не пойду ни в кафе с друзьями, ни на вечеринку».

Тема: Элементы комбинаторики Из колоды в 36 карт наудачу без возвращения вынимают по одной карте 3 раза. Сколько существует различных способов получения трех карт, среди которых на первых двух местах – бубны, а на третьем – пики.

648 |

Решение: В колоде 9 бубен и 9 пик. Получение тройки карт «бубны, бубны, пики» можно рассматривать как результат двух действий. Первое действие – получение на первых картах «бубны, бубны». Поскольку порядок карт существенен, то число различных способов осуществления первого действия совпадает с числом размещений из 9 элементов по 2: . Второе действие – взятие «пики» на третьем месте. Число способов выполнить второе действие равно 9 (по количеству «пик»). По правилу умножения, получим: .

Тема: Декартово произведение множеств Декартово произведение отрезка на отрезок …

			является прямоугольником с вершинами
			является отрезком
			равно 2
			равно 13

Решение: Декартовым произведением отрезка на отрезок является прямоугольник с вершинами

Тема: Неориентированные графы Матрица инцидентности графа, изображенного на рисунке имеет вид …

Тема: Элементы комбинаторики В урне находятся 5 белых, 7 красных, 6 голубых шаров. Сколько существует способов извлечь 9 шаров так, чтобы среди них оказалось 2 белых, 3 красных и 4 голубых шара?

5250 |

Решение: Всего в урне 18 шаров. Сначала выберем два белых шара из 5 белых шаров. Это действие можно выполнить способами. Второе действие состоит в выборе трех красных шаров из 7 красных шаров. Это действие можно выполнить способами. Третье действие состоит в выборе четырех голубых шаров. Оно может быть выполнено способами. По правилу умножения получим:

Математика i-exam вариант 1

ЗАДАНИЕ N 1 Тема: Проверка статистических гипотез

Соотношением вида можно определить …

			правостороннюю критическую область
			левостороннюю критическую область
			двустороннюю критическую область
			область принятия гипотезы

ЗАДАНИЕ N 2 Тема: Элементы корреляционного анализа

При построении выборочного уравнения парной регрессии вычислены выборочный коэффициент корреляции и выборочные средние квадратические отклонения . Тогда выборочный коэффициент регрессии на равен …

ЗАДАНИЕ N 3 Тема: Статистическое распределение выборки

Из генеральной совокупности извлечена выборка объема , гистограмма частот которой имеет вид: Тогда значение a равно …

			38
			39
			76
			37

ЗАДАНИЕ N 4 Тема: Интервальные оценки параметров распределения

Дан доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда при уменьшении объема выборки этот доверительный интервал может принять вид …

Решение: Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака можно представить в виде симметричного интервала , где точечная оценка математического ожидания , а точность оценки . В случае уменьшения объема выборки точность оценки ухудшается, то есть значение будет больше 2,13.

ЗАДАНИЕ N 5 Тема: Операции над высказываниями

Из трех логических выражений: эквивалентными являются …

			и
			и
			и
			все функции

ЗАДАНИЕ N 6 Тема: Элементы комбинаторики

Из города в город ведут 5 дорог, из в – 3 дороги, имеются также 2 дороги из в , минуя . Из в можно попасть ____ способом(-ами).

17 |

Решение: Из города в город можно попасть способами, из в – с помощью способов. Тогда из в через можно попасть способами (по правилу произведения); а из в , минуя , можно попасть способами. Поэтому по правилу суммы общее число способов, которыми можно попасть из города в город , равно: .

ЗАДАНИЕ N 7 Тема: Декартово произведение множеств

Пусть заданы два множества: , . Тогда геометрическая интерпретация множества имеет вид …

ЗАДАНИЕ N 8 Тема: Неориентированные графы

Эйлеровым является граф …

ЗАДАНИЕ N 9 Тема: Дифференциальная геометрия кривых

Траектория движущейся точки задается уравнением Тогда значение касательного ускорения в момент равно …

			0
			2

Решение: Касательное ускорение на параметрически заданной кривой вычисляется как . Вычислим производные первого и второго порядка. Найдем , при любых значениях .

ЗАДАНИЕ N 10 Тема: Дифференциальная геометрия поверхностей

Точка с координатами на поверхности является …

			гиперболической точкой
			параболической точкой
			эллиптической точкой
			точкой уплощения

Решение: Тип точки на поверхности определяется по виду соприкасающегося параболоида в этой точке к поверхности. Построим соприкасающийся параболоид: . Вычислим частные производные второго порядка: ; ; . В точке ; ; . Тогда соприкасающийся параболоид является гиперболическим параболоидом, а сама точка относится к гиперболическому типу.

ЗАДАНИЕ N 11 Тема: Асимптоты кривой

Асимптоты кривой имеют вид …

			и
			и

Решение: Кривая описывается соотношением , то есть функция представлена в явном виде. В точке функция имеет разрыв, поэтому уравнение вертикальной асимптоты имеет вид: . Наклонные или горизонтальные асимптоты определяются уравнением (для горизонтальных асимптот ). 1. Находим асимптоту при (правую асимптоту): , . Следовательно, уравнение правой асимптоты имеет вид: . 2. Аналогично находим асимптоту при (левую асимптоту): , . Следовательно, уравнение левой асимптоты совпадает с уравнением правой асимптоты и имеет вид: . Таким образом, прямые и являются асимптотами заданной кривой.

ЗАДАНИЕ N 12 Тема: Основные понятия топологии

Внешностью множества в топологическом пространстве с топологией является …

			пустое множество

Решение: Внешность M – это совокупность всех внутренних точек дополнения к множеству M, то есть входящих в дополнение к M с какой-либо своей окрестностью (открытым множеством). Дополнением является множество – закрытое множество, которое не содержит в себе ни одного открытого множества из данной топологии. Таким образом, внешностью множества в данном случае будет пустое множество.

ЗАДАНИЕ N 13 Тема: Непрерывность функции, точки разрыва

Для функции точка является точкой …

			разрыва второго рода
			разрыва первого рода
			непрерывности
			устранимого разрыва

ЗАДАНИЕ N 14 Тема: Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых функциях

Приближенное значение функции при , вычисленное с использованием дифференциала первого порядка, равно …

ЗАДАНИЕ N 15 Тема: Дифференциальное исчисление ФНП

Частная производная функции имеет вид …

ЗАДАНИЕ N 16 Тема: Приложения определенного интеграла

Площадь фигуры, изображенной на рисунке равна …

ЗАДАНИЕ N 17 Тема: Поле направлений и изоклины

Поле направлений дифференциального уравнения определяется неравенством …

Решение: Так как поле направлений дифференциального уравнения задано в области определения функции двух переменных , то для нахождения области задания поля направлений следует решить неравенство . Тогда .

ЗАДАНИЕ N 18 Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Общее решение системы дифференциальных уравнений имеет вид …

ЗАДАНИЕ N 19 Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка

Функция является общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка. Тогда для начального условия частное решение этого уравнения имеет вид …

ЗАДАНИЕ N 20 Тема: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение будет уравнением с разделяющимися переменными при значении , равном …

			2
			0
			4
			1

Решение: Данное уравнение можно представить в виде . Это уравнение будет уравнением с разделяющимися переменными при , то есть при . Откуда .

ЗАДАНИЕ N 21 Тема: Определение вероятности

Игральная кость бросается два раза. Тогда вероятность того, что сумма выпавших очков не меньше девяти, равна …

			0

Решение: Для вычисления события (сумма выпавших очков будет не меньше девяти) воспользуемся формулой , где – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события A. В нашем случае возможны элементарных исходов испытания, из которых благоприятствующими являются исходы вида , , , , , , , и , то есть . Следовательно, .

ЗАДАНИЕ N 22 Тема: Числовые характеристики случайных величин

Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей: Тогда ее математическое ожидание равно …

			3
			2
			1
			0

ЗАДАНИЕ N 23 Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин

Банк выдал пять кредитов. Вероятность того, что кредит не будет погашен в срок, равна 0,1. Тогда вероятность того, что в срок не будут погашены три кредита, равна …

			0,0081
			0,081
			0,06
			0,0729

ЗАДАНИЕ N 24 Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса

Имеются четыре урны, содержащие по 3 белых и 7 черных шаров, и шесть урн, содержащих по 8 белых и 2 черных шара. Из наудачу взятой урны вытаскивается один шар, который оказался белым. Тогда вероятность того, что этот шар был вынут из первой серии урн, равна …

			0,20
			0,80
			0,72
			0,40

Решение: Предварительно вычислим вероятность события A (вынутый наудачу шар – белый) по формуле полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что шар извлечен из первой серии урн; – вероятность того, что шар извлечен из второй серии урн; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из он извлечен из первой серии урн; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из он извлечен из второй серии урн. Тогда . Теперь вычислим условную вероятность того, что этот шар был извлечен из первой серии урн, по формуле Байеса: .

ЗАДАНИЕ N 25 Тема: Мера плоского множества

Мера плоского множества равна …

			1
			0

ЗАДАНИЕ N 26 Тема: Метрические пространства

Расстояние между точками и в метрике , где и , равно …

			4
			2
			0

Решение: .

ЗАДАНИЕ N 27 Тема: Элементы теории множеств

Даны три множества: , и . Тогда число элементов множества равно …

1 |

Решение: Определим множество и выполним операцию пересечения . В результате получится множество , состоящее из одного элемента.

ЗАДАНИЕ N 28 Тема: Отображение множеств

Пусть задано отображение . Тогда представляет собой …

			единичную окружность
			отрезок
			квадрат
			гиперболу

ЗАДАНИЕ N 29 Тема: Линейные отображения

Пусть – базис пространства . Операторы и этого пространства заданы матрицами ; . Тогда матрица оператора равна …

Решение: .

ЗАДАНИЕ N 30 Тема: Основные алгебраические структуры

Обратным элементом для матрицы относительно операции сложения матриц является …

ЗАДАНИЕ N 31 Тема: Дробно-рациональные функции

Множество всех дробно-рациональных функций образует поле относительно обычных операций сложения и умножения таких функций. Пусть и , причем и Тогда числитель суммы равен …

Решение: Разложим на линейные множители знаменатели дробно-рациональных функций и : Тогда То есть, числитель суммы равен .

ЗАДАНИЕ N 32 Тема: Группы и подгруппы

На множестве целых чисел группу образует операция * определенная как …

ЗАДАНИЕ N 33 Тема: Кривые второго порядка

Уравнение директрисы параболы, проходящей через точки , и симметричной относительно оси , имеет вид …

Решение: Каноническое уравнение параболы, проходящей через начало координат и симметричной относительно оси имеет вид: , а уравнение директрисы: . Параметр находится из условия, что точка принадлежит параболе, то есть , . Тогда уравнение директрисы параболы примет вид: .

ЗАДАНИЕ N 34 Тема: Прямоугольные координаты на плоскости

Точки и лежат на одной прямой, параллельной оси ординат. Расстояние между точками и равно 6. Тогда положительные координаты точки равны …

			,
			,
			,
			,

Решение: Точки, лежащие на одной прямой, параллельной оси OY, имеют одинаковые абсциссы, следовательно, и . Расстояние между двумя точками и находится по формуле . Тогда расстояние между точками и можно найти как . Из условия , получаем , или . Следовательно, ; . Тогда положительные координаты точки равны: , .

ЗАДАНИЕ N 35 Тема: Плоскость в пространстве

Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторам и , имеет вид …

Решение: Уравнение плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором , имеет вид: . В качестве нормального вектора плоскости возьмем векторное произведение векторов и . Тогда , или . Подставляя в уравнение плоскости координаты точки и вектора , получим: или .

ЗАДАНИЕ N 36 Тема: Прямая линия в пространстве

Острый угол между прямыми и равен …

Решение: Угол между прямыми и определяется как угол между их направляющими векторами: и , который можно вычислить по формуле: . Тогда , то есть .

ЗАДАНИЕ N 37 Тема: Особые точки функции комплексного переменного

Число особых точек функции равно …

			3
			5
			2
			1

Решение: Для функции точки – полюсы первого порядка, – полюс первого порядка. Следовательно, число особых точек равно трем.

ЗАДАНИЕ N 38 Тема: Дифференцирование функции комплексного переменного

Если и , то мнимая часть производной этой функции имеет вид …

ЗАДАНИЕ N 39 Тема: Области на комплексной плоскости

Все точки комплексной плоскости, принадлежащие множеству , изображенному на рисунке, удовлетворяют условию …

ЗАДАНИЕ N 40 Тема: Операции над комплексными числами

Дано комплексное число . Тогда равно …

			16
			2

Решение: Если комплексное число в тригонометрической форме имеет вид , то по формуле Муавра , где – натуральное число. Запишем число в тригонометрической форме: 1) находим модуль числа ; 2) составляем систему уравнений для нахождения аргумента и главного значения аргумента: 3) находим главное значение аргумента комплексного числа , которое равно ; 4) тогда . Следовательно,